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Chapitre IX. Le cas archimédien
est la somme des expressions suivantes
(22)
∂ U φ(rH d ) − ∂ U φ(−rH d );
(23)
y∈ ˙
Y M (η)
(∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η[y], f) − ∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(−rH d )η[y], f));
(24)
−2πi|ˇ α|S(rH c );
(25)
s∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; 0)C(r, s),
où
C(r, s) = 2πi|ˇ α|i
˜
G
(s)
˜
M
(η)∂ U (s) S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
(exp(rH c )η 1 (s), f
˜
G
1 (s) )
− ∂ U(s) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(rH d )η 1 (s), f
˜
G
1 (s) )
+ ∂ U(s) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(−rH d )η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Parce que φ est C
∞ , la limite de (22) quand r tend vers 0 est nulle. Pour s ∈
Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1, on peut utiliser par récurrence l’assertion (iv) de l’énoncé.
On a donc lim r→0 C(r, s) = 0 et la limite de l’expression (25) quand r tend vers 0
est nulle. En utilisant (20), on voit que la somme de (23) et de (24) s’écrit
y∈ ˙
Y M (η)
D(r, y),
où
D(r, y) = ∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η[y], f) − ∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(−rH d )η[y], f)
− 2πi|ˇ α|
y ∈q −1 (y)
∂ U [y ] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y
])η[y], f).
Fixons y. Comme on l’a dit, le nombre d’éléments de q
−1 (y) est le nombre
de classes de conjugaison par G η[y] (R) dans la classe de conjugaison stable de
exp(rH c [y
])η[y]), pour tout y
∈ q
−1 (y). Autrement dit, il est égal à 2
c(η[y]) , avec
la notation de la proposition 4.1. On peut donc récrire
D(r, y) = 2
−c(η[y])
y ∈q −1 (y)
D
(r, y
),
où
D
(r, y
) = ∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η[y], f) − ∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(−rH d )η[y], f)
− 2
1+c(η[y]) πi|ˇ α|∂ U [y ] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y
])η[y], f).
La proposition 4.1 nous dit que, pour tout y
∈ q
−1 (y), lim r→0 D
(r, y
) = 0. Il en
résulte que la limite quand r tend vers 0 de la somme des expressions (23) et (24)