IX.4. Propriétés locales
1041
noyau de l’homomorphisme
(19)
π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ) → π 0 ( ˆ
T
Γ R
sc ).
En effet, un élément x de ce noyau se relève en un élément t sc ∈ Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ∩ ˆ
T
Γ R ,0
sc .
Parce que T est elliptique dans M , on a l’égalité ˆ
T
Γ R ,0
sc
= Z( ˆ
M sc )
Γ R ,0 . Donc t sc se
projette en un élément t ∈ Z( ˆ
M )
Γ R . Parce que t sc ∈ Z( ˆ
G η,sc ), on a t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α .
On voit alors que x = v(t), d’où l’assertion. Il nous suffit de prouver que le noyau
de (19) n’est pas contenu dans Ann[y]. On a un homomorphisme naturel
π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) → π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ).
Son image est contenue dans le noyau de (19). En effet, puisque ˆ
G η,SC = SL(2, C),
le groupe π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) n’est autre que le centre {±1} de ˆ
G η,SC , qui est contenu
dans ˆ
T d = ˆ
T
Γ R ,0
d
, donc se projette dans ˆ
T
Γ R ,0
sc . Il suffit donc de prouver que l’image
de π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) n’est pas contenue dans Ann[y]. Cela équivaut à ce que l’image
τ [y] AD de τ [y] dans H
1 (Γ R ; G η,AD ) ne soit pas dans le noyau de l’accouplement
entre les deux ensembles
H
1 (Γ R ; G η,AD ) × π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ).
Il résulte de [46] théorème 1.2 que ce dernier noyau est réduit à l’élément 1 ∈
H
1 (Γ R ; G η,AD ). Or τ [y] AD détermine la forme intérieure G η[y],SC de G η,SC . L’hypothèse sur y et l’assertion (17) entraînent que cette forme intérieure est non
déployée, donc que τ [y] AD n’est pas égal à 1. Cela achève la preuve de (18).
En utilisant (18), on transforme l’égalité (15) en
(20)
S(rH c ) =
y∈ ˙
Y M (η)
y ∈q −1 (y)
∂ U [y ] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y
])η[y], f).
Remplaçons X par rH c dans la formule (12) et utilisons (11). On isole le terme
s = 1 pour lequel on peut prendre pour G
(s) des données auxiliaires triviales. On
a pour celles-ci τ (1, 0) = 1. On obtient
S(rH c ) = i
˜
G
˜
M
(η)∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c η, f )
+
s∈Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
(s)
˜
M
(η)τ (s; 0)∂ U (s) S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
exp(rH c )η 1 (s), f
˜
G
1 (s)
.
En utilisant cette égalité et l’égalité (10), on voit que
(21)
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f ) − ∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(−rH d )η, f )
−2πi|ˇ α|i
˜
G
˜
M
(η)∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f )
1041
noyau de l’homomorphisme
(19)
π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ) → π 0 ( ˆ
T
Γ R
sc ).
En effet, un élément x de ce noyau se relève en un élément t sc ∈ Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ∩ ˆ
T
Γ R ,0
sc .
Parce que T est elliptique dans M , on a l’égalité ˆ
T
Γ R ,0
sc
= Z( ˆ
M sc )
Γ R ,0 . Donc t sc se
projette en un élément t ∈ Z( ˆ
M )
Γ R . Parce que t sc ∈ Z( ˆ
G η,sc ), on a t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α .
On voit alors que x = v(t), d’où l’assertion. Il nous suffit de prouver que le noyau
de (19) n’est pas contenu dans Ann[y]. On a un homomorphisme naturel
π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) → π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ).
Son image est contenue dans le noyau de (19). En effet, puisque ˆ
G η,SC = SL(2, C),
le groupe π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) n’est autre que le centre {±1} de ˆ
G η,SC , qui est contenu
dans ˆ
T d = ˆ
T
Γ R ,0
d
, donc se projette dans ˆ
T
Γ R ,0
sc . Il suffit donc de prouver que l’image
de π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ) n’est pas contenue dans Ann[y]. Cela équivaut à ce que l’image
τ [y] AD de τ [y] dans H
1 (Γ R ; G η,AD ) ne soit pas dans le noyau de l’accouplement
entre les deux ensembles
H
1 (Γ R ; G η,AD ) × π 0 (Z( ˆ
G η,SC )
Γ R ).
Il résulte de [46] théorème 1.2 que ce dernier noyau est réduit à l’élément 1 ∈
H
1 (Γ R ; G η,AD ). Or τ [y] AD détermine la forme intérieure G η[y],SC de G η,SC . L’hypothèse sur y et l’assertion (17) entraînent que cette forme intérieure est non
déployée, donc que τ [y] AD n’est pas égal à 1. Cela achève la preuve de (18).
En utilisant (18), on transforme l’égalité (15) en
(20)
S(rH c ) =
y∈ ˙
Y M (η)
y ∈q −1 (y)
∂ U [y ] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y
])η[y], f).
Remplaçons X par rH c dans la formule (12) et utilisons (11). On isole le terme
s = 1 pour lequel on peut prendre pour G
(s) des données auxiliaires triviales. On
a pour celles-ci τ (1, 0) = 1. On obtient
S(rH c ) = i
˜
G
˜
M
(η)∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c η, f )
+
s∈Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
(s)
˜
M
(η)τ (s; 0)∂ U (s) S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
exp(rH c )η 1 (s), f
˜
G
1 (s)
.
En utilisant cette égalité et l’égalité (10), on voit que
(21)
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f ) − ∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(−rH d )η, f )
−2πi|ˇ α|i
˜
G
˜
M
(η)∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f )