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Chapitre IX. Le cas archimédien
on a l’égalité
d(t, y)d(t, 1)
−1 = lim
Z→0
Δ 1 (t)(exp(Z + H d )η 1 (t), exp(Z[y] + H d [q(y)])η)
Δ 1 (t)(exp(Z + H d )η 1 (t), exp(Z + H d )η)
.
Les éléments exp(Z[y] + H d [q(y)])η et exp(Z + H d )η appartiennent à la même
classe de conjugaison stable dans ˜
M (R). Le facteur Δ 1 (t), restreint aux éléments
de ˜
M 1 (t; R) × ˜
M (R), est un facteur pour la donnée endoscopique triviale M de
(M, ˜
M ). Il est donc invariant par conjugaison stable en la deuxième variable. Le
rapport ci-dessus vaut donc 1. Puisque i
˜
G
˜
M
(η) est l’inverse du nombre d’éléments
de l’ensemble de sommation Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R , on obtient la première assertion.
Supposons maintenant q(y) ∈ ˙
Y
M (η). Le cocycle σ → yσ(y)
−1 à valeurs dans G η
se pousse en un cocycle à valeurs dans G η,ad , ce groupe étant l’image de G η dans
G AD . On note τ [y] sa classe. Introduisons le tore ˆ
T dual de T (ce n’est plus le
tore d’une paire de Borel épinglée ˆ
E comme au début du paragraphe). Puisque T
est un sous-tore maximal de M comme de G η , on a des plongements ˆ
T ⊂ ˆ
M et
ˆ
T ⊂ ˆ
G η . Le second réalise ˆ
T comme Levi de ˆ
G η . Il est équivariant pour les actions
galoisiennes. Du premier plongement se déduit une inclusion Z( ˆ
M ) → ˆ
T , qui est
équivariante pour les actions galoisiennes. D’où un plongement Z( ˆ
M )
Γ R ⊂ ˆ
T
Γ R ⊂
ˆ
G
Γ R
η . Puisque ˆ
α est la seule racine (au signe près) de ˆ
G η , Z( ˆ
M )
ˆ
α est exactement
l’image réciproque de Z( ˆ
G η )
Γ R par le plongement précédent. Notons ˆ
M sc et ˆ
T sc
les images réciproques de ˆ
M et ˆ
T dans ˆ
G et notons ˆ
G η,sc le groupe dual de G η,ad .
On a pour ces groupes des propriétés analogues aux précédentes. Soit t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α .
On choisit un élément t sc ∈ Z( ˆ
M sc )
Γ R ,0 qui se projette dans ˆ
G AD sur le même
élément que t. Alors t sc s’identifie à un élément de Z( ˆ
G η,sc )
Γ R , que l’on projette
dans le groupe des composantes connexes π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ). On note u(t) son image.
Remarquons qu’elle peut dépendre du choix de t sc . On a un produit sur
H
1 (Γ R ; G η,ad ) × π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ).
Le calcul de [III] 8.4 montre que
d(t, y)d(t, 1)
−1 = τ [y], u(t) .
Remarque. On pourrait aussi utiliser le théorème 5.1.D de [48] pour obtenir cette
formule.
Notons Ann[y] l’annulateur de τ [y] dans π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ). La formule montre
que l’image v(t) de u(t) dans le quotient π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R )/ Ann[y] est bien déterminée. On obtient ainsi une application
v : Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R → π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R )/ Ann[y].
C’est un homomorphisme. Pour prouver la nullité de d(y), il suffit de prouver que
l’image de v n’est pas réduite à {1}. Or cette image contient l’image naturelle du
Chapitre IX. Le cas archimédien
on a l’égalité
d(t, y)d(t, 1)
−1 = lim
Z→0
Δ 1 (t)(exp(Z + H d )η 1 (t), exp(Z[y] + H d [q(y)])η)
Δ 1 (t)(exp(Z + H d )η 1 (t), exp(Z + H d )η)
.
Les éléments exp(Z[y] + H d [q(y)])η et exp(Z + H d )η appartiennent à la même
classe de conjugaison stable dans ˜
M (R). Le facteur Δ 1 (t), restreint aux éléments
de ˜
M 1 (t; R) × ˜
M (R), est un facteur pour la donnée endoscopique triviale M de
(M, ˜
M ). Il est donc invariant par conjugaison stable en la deuxième variable. Le
rapport ci-dessus vaut donc 1. Puisque i
˜
G
˜
M
(η) est l’inverse du nombre d’éléments
de l’ensemble de sommation Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R , on obtient la première assertion.
Supposons maintenant q(y) ∈ ˙
Y
M (η). Le cocycle σ → yσ(y)
−1 à valeurs dans G η
se pousse en un cocycle à valeurs dans G η,ad , ce groupe étant l’image de G η dans
G AD . On note τ [y] sa classe. Introduisons le tore ˆ
T dual de T (ce n’est plus le
tore d’une paire de Borel épinglée ˆ
E comme au début du paragraphe). Puisque T
est un sous-tore maximal de M comme de G η , on a des plongements ˆ
T ⊂ ˆ
M et
ˆ
T ⊂ ˆ
G η . Le second réalise ˆ
T comme Levi de ˆ
G η . Il est équivariant pour les actions
galoisiennes. Du premier plongement se déduit une inclusion Z( ˆ
M ) → ˆ
T , qui est
équivariante pour les actions galoisiennes. D’où un plongement Z( ˆ
M )
Γ R ⊂ ˆ
T
Γ R ⊂
ˆ
G
Γ R
η . Puisque ˆ
α est la seule racine (au signe près) de ˆ
G η , Z( ˆ
M )
ˆ
α est exactement
l’image réciproque de Z( ˆ
G η )
Γ R par le plongement précédent. Notons ˆ
M sc et ˆ
T sc
les images réciproques de ˆ
M et ˆ
T dans ˆ
G et notons ˆ
G η,sc le groupe dual de G η,ad .
On a pour ces groupes des propriétés analogues aux précédentes. Soit t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α .
On choisit un élément t sc ∈ Z( ˆ
M sc )
Γ R ,0 qui se projette dans ˆ
G AD sur le même
élément que t. Alors t sc s’identifie à un élément de Z( ˆ
G η,sc )
Γ R , que l’on projette
dans le groupe des composantes connexes π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ). On note u(t) son image.
Remarquons qu’elle peut dépendre du choix de t sc . On a un produit sur
H
1 (Γ R ; G η,ad ) × π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ).
Le calcul de [III] 8.4 montre que
d(t, y)d(t, 1)
−1 = τ [y], u(t) .
Remarque. On pourrait aussi utiliser le théorème 5.1.D de [48] pour obtenir cette
formule.
Notons Ann[y] l’annulateur de τ [y] dans π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R ). La formule montre
que l’image v(t) de u(t) dans le quotient π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R )/ Ann[y] est bien déterminée. On obtient ainsi une application
v : Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R → π 0 (Z( ˆ
G η,sc )
Γ R )/ Ann[y].
C’est un homomorphisme. Pour prouver la nullité de d(y), il suffit de prouver que
l’image de v n’est pas réduite à {1}. Or cette image contient l’image naturelle du