IX.4. Propriétés locales
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sur R et est déployé. Le groupe M η[y],SC est donc une forme intérieure de SL(2)
qui contient un sous-tore déployé non trivial. Cela implique qu’il est isomorphe
à SL(2). Inversement, supposons que M η[y],SC soit isomorphe à SL(2). Quitte à
multiplier à gauche y par un élément de M η , on peut supposer que ad y −1 induit
un isomorphisme défini sur R de M η,SC sur M η[y],SC . Alors ad y −1 induit aussi
un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] . Le groupe A ˜
M est inclus dans
M η . Posons A
= ad y −1 (A ˜
M ). Alors A
est un tore défini et déployé sur R. Son
commutant est le groupe M
= ad y −1 (M ) et est défini sur R. Soit P un sous-groupe
parabolique de M de Levi M . Posons P
= ad y −1 (P ). Puisque P est déterminé
par son ensemble associé de racines positives, qui sont des caractères de A ˜
M , le
parabolique P
est déterminé par le même ensemble transporté à A
par ad y −1 .
Donc P
est défini sur R. Les paires (P, M ) et (P
, M
) sont toutes deux définies sur
R et sont conjuguées par y ∈ M (C). On sait qu’alors elles sont aussi conjuguées
par un élément de M (R). Autrement dit, quitte à multiplier à droite y par un
élément de M (R), on peut supposer que les deux paires sont égales. On a alors
ad y −1 (P, M ) = (P, M ), ce qui entraîne y ∈ M . Cela prouve (17).
En vertu de (17), on peut supposer ˙
Y
M (η) ⊂ ˙
Y
M (η). La démonstration
montre que l’on peut supposer que, pour tout y ∈ ˙
Y
M (η), ad y −1 se restreint en
un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] .
Puisque T ⊂ M η , on a l’inclusion Y
M (exp(X)η) ⊂ Y
M (η) pour tout X ∈
t(R) ∩ g η,reg (R). On en déduit une application naturelle
T \Y
M (exp(X)η)/M (R) → M η \Y
M (η)/M (R).
Cette application est surjective. Cela résulte du fait que T est un sous-tore fondamental de M η et se transfère donc à toute forme intérieure de ce groupe. Autrement
dit, on peut choisir notre système ˙
Y
M (T ) vérifiant la propriété suivante. Il y a une
application surjective
q : ˙
Y
M (T ) → ˙
Y
M (η)
telle que, pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ), q(y) est l’unique élément de M η y ∩ ˙
Y
M (η). On
détermine les fibres de l’application q. Pour y ∈ ˙
Y
M (η), la classe de conjugaison
stable dans m η,SC d’un X comme ci-dessus se transfère par ad y −1 en une classe
de conjugaison stable dans m η[y],SC . L’ensemble {ad
−1
y (X); y
∈ q
−1 (y)} est un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par M η[y] (R) dans cette
classe de conjugaison stable.
Montrons que
(18) on a d(y) = 1 pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ) tel que q(y) ∈ ˙
Y
M (η) tandis que d(y) = 0
pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ) tel que q(y) ∈ ˙
Y
M (η).
C’est en fait un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Reprenons partiellement le calcul. Si q(y) ∈ ˙
Y
M (η), on peut appliquer la définition (14) aux éléments
X sc [y] = H d [q(y)] et X
sc = H d . On obtient que, pour tout t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R ,
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sur R et est déployé. Le groupe M η[y],SC est donc une forme intérieure de SL(2)
qui contient un sous-tore déployé non trivial. Cela implique qu’il est isomorphe
à SL(2). Inversement, supposons que M η[y],SC soit isomorphe à SL(2). Quitte à
multiplier à gauche y par un élément de M η , on peut supposer que ad y −1 induit
un isomorphisme défini sur R de M η,SC sur M η[y],SC . Alors ad y −1 induit aussi
un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] . Le groupe A ˜
M est inclus dans
M η . Posons A
= ad y −1 (A ˜
M ). Alors A
est un tore défini et déployé sur R. Son
commutant est le groupe M
= ad y −1 (M ) et est défini sur R. Soit P un sous-groupe
parabolique de M de Levi M . Posons P
= ad y −1 (P ). Puisque P est déterminé
par son ensemble associé de racines positives, qui sont des caractères de A ˜
M , le
parabolique P
est déterminé par le même ensemble transporté à A
par ad y −1 .
Donc P
est défini sur R. Les paires (P, M ) et (P
, M
) sont toutes deux définies sur
R et sont conjuguées par y ∈ M (C). On sait qu’alors elles sont aussi conjuguées
par un élément de M (R). Autrement dit, quitte à multiplier à droite y par un
élément de M (R), on peut supposer que les deux paires sont égales. On a alors
ad y −1 (P, M ) = (P, M ), ce qui entraîne y ∈ M . Cela prouve (17).
En vertu de (17), on peut supposer ˙
Y
M (η) ⊂ ˙
Y
M (η). La démonstration
montre que l’on peut supposer que, pour tout y ∈ ˙
Y
M (η), ad y −1 se restreint en
un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] .
Puisque T ⊂ M η , on a l’inclusion Y
M (exp(X)η) ⊂ Y
M (η) pour tout X ∈
t(R) ∩ g η,reg (R). On en déduit une application naturelle
T \Y
M (exp(X)η)/M (R) → M η \Y
M (η)/M (R).
Cette application est surjective. Cela résulte du fait que T est un sous-tore fondamental de M η et se transfère donc à toute forme intérieure de ce groupe. Autrement
dit, on peut choisir notre système ˙
Y
M (T ) vérifiant la propriété suivante. Il y a une
application surjective
q : ˙
Y
M (T ) → ˙
Y
M (η)
telle que, pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ), q(y) est l’unique élément de M η y ∩ ˙
Y
M (η). On
détermine les fibres de l’application q. Pour y ∈ ˙
Y
M (η), la classe de conjugaison
stable dans m η,SC d’un X comme ci-dessus se transfère par ad y −1 en une classe
de conjugaison stable dans m η[y],SC . L’ensemble {ad
−1
y (X); y
∈ q
−1 (y)} est un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par M η[y] (R) dans cette
classe de conjugaison stable.
Montrons que
(18) on a d(y) = 1 pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ) tel que q(y) ∈ ˙
Y
M (η) tandis que d(y) = 0
pour tout y ∈ ˙
Y
M (T ) tel que q(y) ∈ ˙
Y
M (η).
C’est en fait un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Reprenons partiellement le calcul. Si q(y) ∈ ˙
Y
M (η), on peut appliquer la définition (14) aux éléments
X sc [y] = H d [q(y)] et X
sc = H d . On obtient que, pour tout t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R ,