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Chapitre IX. Le cas archimédien
de conjugaison stables se correspondent et soit Z ∈ z(G η ; R) en position générale.
Ces éléments sont tous deux proches de 0. Alors
(14)
lim
Z→0
Δ 1 (t)(exp(Z + X
sc )η 1 (t), exp(Z[y] + X sc [y])η) = d(t, y).
On peut prendre en particulier X
sc = rH c , pour un réel r = 0 et proche de 0,
et X sc [y] = rH c [y]. Appliquons l’égalité (13) à X = Z + rH c et pour un élément
Z ∈ z(G η ; R) en position générale. Faisons tendre Z vers 0. Tous les termes sont
continus en Z et on obtient l’égalité
S(rH c , t) = i
˜
G
˜
M
(η)
y∈ ˙
Y M (T )
d(t, y)d(t, 1)
−1 ∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y])η[y], f).
D’où
(15)
S(rH c ) =
y∈ ˙
Y M (T )
d(y)∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y])η[y], f),
où
d(y) = i
˜
G
˜
M
(η)
t∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R
d(t, y)d(t, 1)
−1 .
On a par définition l’inclusion Y
M (η) = Y
M (η) ∩ M . D’où une application
(16)
T \Y
M (η)/M (R) → M η \Y
M (η)/M (R).
Montrons que
(17) cette application est injective ; son image est l’image dans l’espace d’arrivée
de l’ensemble des y ∈ Y
M (η) tels que le groupe M η[y],SC soit isomorphe à
SL(2).
Le membre de gauche de (16) s’identifie au noyau de l’application
H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M )
tandis que celui de droite s’identifie au noyau de l’application
H
1 (Γ R ; M η ) → H
1 (Γ R ; M ).
L’injectivité de l’application (16) résulte de celle de l’application
H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M η ),
laquelle provient du fait que T est un Levi de M η . Si y ∈ Y
M (η), ad y −1 se relève
en un torseur intérieur de M η,SC sur M η[y],SC . Rappelons que le sous-tore T d
de M η,SC se projette sur un sous-tore déployé du centre de M . Si y ∈ M , le
tore ad y −1 (T d ) se projette sur le même tore. Il en résulte que ad y −1 (T d ) est défini
Chapitre IX. Le cas archimédien
de conjugaison stables se correspondent et soit Z ∈ z(G η ; R) en position générale.
Ces éléments sont tous deux proches de 0. Alors
(14)
lim
Z→0
Δ 1 (t)(exp(Z + X
sc )η 1 (t), exp(Z[y] + X sc [y])η) = d(t, y).
On peut prendre en particulier X
sc = rH c , pour un réel r = 0 et proche de 0,
et X sc [y] = rH c [y]. Appliquons l’égalité (13) à X = Z + rH c et pour un élément
Z ∈ z(G η ; R) en position générale. Faisons tendre Z vers 0. Tous les termes sont
continus en Z et on obtient l’égalité
S(rH c , t) = i
˜
G
˜
M
(η)
y∈ ˙
Y M (T )
d(t, y)d(t, 1)
−1 ∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y])η[y], f).
D’où
(15)
S(rH c ) =
y∈ ˙
Y M (T )
d(y)∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(rH c [y])η[y], f),
où
d(y) = i
˜
G
˜
M
(η)
t∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R
d(t, y)d(t, 1)
−1 .
On a par définition l’inclusion Y
M (η) = Y
M (η) ∩ M . D’où une application
(16)
T \Y
M (η)/M (R) → M η \Y
M (η)/M (R).
Montrons que
(17) cette application est injective ; son image est l’image dans l’espace d’arrivée
de l’ensemble des y ∈ Y
M (η) tels que le groupe M η[y],SC soit isomorphe à
SL(2).
Le membre de gauche de (16) s’identifie au noyau de l’application
H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M )
tandis que celui de droite s’identifie au noyau de l’application
H
1 (Γ R ; M η ) → H
1 (Γ R ; M ).
L’injectivité de l’application (16) résulte de celle de l’application
H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M η ),
laquelle provient du fait que T est un Levi de M η . Si y ∈ Y
M (η), ad y −1 se relève
en un torseur intérieur de M η,SC sur M η[y],SC . Rappelons que le sous-tore T d
de M η,SC se projette sur un sous-tore déployé du centre de M . Si y ∈ M , le
tore ad y −1 (T d ) se projette sur le même tore. Il en résulte que ad y −1 (T d ) est défini