IX.4. Propriétés locales
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Pour tout y ∈ ˙
Y
M (exp(X)η), notons T [y] = ad y −1 (T ). On a encore un isomorphisme Ξ(t, y) : Sym(t[y]) → Sym(t). En notant U [y] l’image réciproque de U (t)
par cet isomorphisme, le transfert de δ
U ,X est la distribution
ϕ →
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])∂ U [y] I
˜
M (exp(X[y])η[y], ϕ).
Si y = 1, on a Ξ(t, 1) = Ξ(t) donc U [1] = U . En fait, il résulte des définitions que
le diagramme
Sym(t)
Ξ(t)
ad y −1 ↓
Sym(t)
Ξ(t, y)
Sym(t[y])
est commutatif. Donc U [y] est simplement l’image de U par l’isomorphisme ad y −1 .
Pour obtenir le transfert de δ U,X , il reste à diviser par
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η).
On obtient que ce transfert est la distribution
ϕ →
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η)
∂ U [y] I
˜
M (exp(X[y])η[y], ϕ).
On en déduit l’égalité
(13)
S(X, t) = i
˜
G
˜
M
(η)
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η)
∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f).
Remarquons que l’on peut choisir l’ensemble ˙
Y
M (exp(X)η) indépendant de X :
il ne dépend que de T . Notons-le plutôt ˙
Y
M (T ). Les considérations faites plus
haut sur le facteur de transfert Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η) s’appliquent aussi au
facteur
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
pour y ∈ ˙
Y
M (T ). C’est-à-dire que G
(t) η,SC est un groupe endoscopique de
G η[y],SC . Ce dernier groupe n’est plus toujours SL(2), ce peut être une forme intérieure. Mais le premier groupe est encore SL(2) donc est la forme quasi-déployée
du second. On peut encore choisir pour facteur de transfert pour cette donnée
endoscopique celui qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui se correspondent. Il
existe alors une constante non nulle d(t, y) vérifiant la propriété suivante. Soient
X sc [y] ∈ g η[y],SC (R) et X
sc ∈ g
(t) η,SC (R) deux éléments réguliers dont les classes
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Pour tout y ∈ ˙
Y
M (exp(X)η), notons T [y] = ad y −1 (T ). On a encore un isomorphisme Ξ(t, y) : Sym(t[y]) → Sym(t). En notant U [y] l’image réciproque de U (t)
par cet isomorphisme, le transfert de δ
U ,X est la distribution
ϕ →
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])∂ U [y] I
˜
M (exp(X[y])η[y], ϕ).
Si y = 1, on a Ξ(t, 1) = Ξ(t) donc U [1] = U . En fait, il résulte des définitions que
le diagramme
Sym(t)
Ξ(t)
ad y −1 ↓
Sym(t)
Ξ(t, y)
Sym(t[y])
est commutatif. Donc U [y] est simplement l’image de U par l’isomorphisme ad y −1 .
Pour obtenir le transfert de δ U,X , il reste à diviser par
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η).
On obtient que ce transfert est la distribution
ϕ →
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η)
∂ U [y] I
˜
M (exp(X[y])η[y], ϕ).
On en déduit l’égalité
(13)
S(X, t) = i
˜
G
˜
M
(η)
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η)
∂ U [y] I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f).
Remarquons que l’on peut choisir l’ensemble ˙
Y
M (exp(X)η) indépendant de X :
il ne dépend que de T . Notons-le plutôt ˙
Y
M (T ). Les considérations faites plus
haut sur le facteur de transfert Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X)η) s’appliquent aussi au
facteur
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])
pour y ∈ ˙
Y
M (T ). C’est-à-dire que G
(t) η,SC est un groupe endoscopique de
G η[y],SC . Ce dernier groupe n’est plus toujours SL(2), ce peut être une forme intérieure. Mais le premier groupe est encore SL(2) donc est la forme quasi-déployée
du second. On peut encore choisir pour facteur de transfert pour cette donnée
endoscopique celui qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui se correspondent. Il
existe alors une constante non nulle d(t, y) vérifiant la propriété suivante. Soient
X sc [y] ∈ g η[y],SC (R) et X
sc ∈ g
(t) η,SC (R) deux éléments réguliers dont les classes