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Chapitre IX. Le cas archimédien
Fixons U ∈ Sym(t) tel que w d (U ) = −U , posons U = C(U ). Pour X ∈
t(R) ∩ g η,reg (R), posons
S(X) =
s∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
(s)
˜
M
(η)Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η)
−1
(12)
∂ U(s) S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ),
où U (s) = Ξ(s)(U ). Par la même décomposition déjà utilisée, on a
S(X) =
t∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R
S(X, t),
où
S(X, t) =
s∈tZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
(s)
˜
M
(η)Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η)
−1
∂ U(s) S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Fixons t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R . Pour simplifier la notation, on considère que t est l’un
des points de la sommation en s. Comme plus haut, pour s ∈ tZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
les données M
1 (s),. . .,Δ 1 (s) sont différentes données auxiliaires pour une même
donnée endoscopique M
(t) de (M , ˜
M ). Les distributions
Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η)
−1 ∂ U (s) S
˜
M
1 (s)
λ1(s) (exp(X)η 1 (s), .)
se recollent en une même distribution δ U,X ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
(t)). En utilisant
(8), on obtient l’égalité
S(X, t) = i
˜
G
˜
M
(η)I
˜
G,E
˜
M
(M
(t), δ U ,X , f).
En utilisant la proposition [V] 1.13, on obtient
S(X, t) = i
˜
G
˜
M
(η)I
˜
G
˜
M
(transfert(δ U,X ), f).
Calculons le transfert de la distribution δ U,X en supposant d’abord exp(X)η
fortement régulier. On réalise maintenant cette distribution en utilisant les données auxiliaires M
1 (t),. . .,Δ 1 (t). Notons δ
X l’intégrale orbitale stable associée à
exp(X)η 1 (t). Par définition, son transfert est la distribution
ϕ →
y∈ ˙
Y M (exp(X)η)
Δ 1 (t)(exp(X)η 1 (t), exp(X[y])η[y])I
˜
M (exp(X[y])η[y], ϕ)
sur ˜
M (R), avec des notations similaires à celles utilisées plus haut. En appliquant
à δ
X l’opérateur différentiel ∂ U(t) , on obtient une distribution que l’on note δ
U,X .