IX.4. Propriétés locales
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même ensemble de racines. Ils sont donc isomorphes. Plus précisément, on peut
fixer un isomorphisme entre eux qui soit l’identité sur T . Par cet isomorphisme, T
devient un sous-tore maximal de G
(s) η . Rappelons que ce dernier groupe est égal
à M
(s) η . De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T , on peut
introduire un isomorphisme C(s). Mais l’isomorphisme entre nos deux groupes
permet de choisir C(s) = C. De la décomposition déjà fixée de g
1 (s) se déduit une
décomposition
t 1 (s) = c 1 (s) ⊕ t.
Avec des notations compréhensibles, on a un diagramme
Sym(t)
Ξ(s)
→ Sym(t)
C ↓
C(s) ↓
Sym(t)
Ξ(s)
→ Sym(t) .
Montrons qu’il est commutatif. On a vu en 3.1 que Ξ(s) envoyait un élément H ∈ t
sur H − −H, b(s), où b(s) est un certain élément de z(G
1 (s))
∗ . L’homomorphisme
Ξ(s) envoie aussi un élément H ∈ t sur H − −H, b(s). Le chemin nord-est du
diagramme envoie H sur C(H) − −H, b(s). Le chemin sud-ouest envoie H sur
C(H) − −C(H), b(s). Mais C est une conjugaison par un élément de G
(s) SC et
fixe donc b(s) qui est central. Donc H, b(s) = C(H), b(s), d’où la commutativité
cherchée.
On est dans un cas particulier très simple de la théorie locale rappelée en [III]
section 5 et [V] 4.1 . Celle-ci nous dit que G
(s) η,SC est un «groupe endoscopique»
de G η,SC . Ces deux groupes sont ici égaux. En particulier, on peut prendre pour
facteur de transfert pour cette donnée endoscopique celui qui vaut 1 sur la diagonale. La relation [V] 4.1(1) implique alors l’existence d’une constante d(s) = 0 telle
que la propriété suivante soit vérifiée. Soit X sc ∈ g η,SC (R) un élément régulier et
Z ∈ z(G η ; R) en position générale. Ces éléments sont tous deux proches de 0. On
considère X sc comme fixé et Z comme variable. Alors
lim
Z→0
Δ 1 (s)(exp(Z + X sc )η 1 (s), exp(Z + X sc )η) = d(s).
Le premier Z + X sc est identifié à un élément de g
1 (s) par la section g
(s) → g
1 (s)
que l’on a fixée. Appliquons cela à X sc ∈ t sc (R). Le facteur de transfert ci-dessus
n’est autre que τ (s; Z + X sc )
−1 . Sa limite est τ (s; X sc )
−1 . On a déjà dit que
τ (s; X sc ) était constant, on a noté sa valeur τ (s; 0). On obtient d(s) = τ (s; 0)
−1 .
Supposons maintenant X sc ∈ t sc (R). Alors Z + X sc ∈ t(R). On a dit en 3.1
qu’alors Δ 1 (s)(exp(Z + X sc )η 1 (s), exp(Z + X sc )η) était le produit de e
b(s),Z et
d’une fonction localement constante sur les éléments Z +X sc assez réguliers. Ce qui
précède montre que cette fonction est constante, de valeur τ (s; 0)
−1 . On peut donc
étendre la définition de Δ 1 (s)(exp(Z +X sc )η 1 (s), exp(Z +X sc )η) ou, si l’on préfère,
de Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η) pour X ∈ t(R) (sans condition de régularité), par
l’égalité
(11)
Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η) = τ (s; 0)
−1 e
b(s),X .
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même ensemble de racines. Ils sont donc isomorphes. Plus précisément, on peut
fixer un isomorphisme entre eux qui soit l’identité sur T . Par cet isomorphisme, T
devient un sous-tore maximal de G
(s) η . Rappelons que ce dernier groupe est égal
à M
(s) η . De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T , on peut
introduire un isomorphisme C(s). Mais l’isomorphisme entre nos deux groupes
permet de choisir C(s) = C. De la décomposition déjà fixée de g
1 (s) se déduit une
décomposition
t 1 (s) = c 1 (s) ⊕ t.
Avec des notations compréhensibles, on a un diagramme
Sym(t)
Ξ(s)
→ Sym(t)
C ↓
C(s) ↓
Sym(t)
Ξ(s)
→ Sym(t) .
Montrons qu’il est commutatif. On a vu en 3.1 que Ξ(s) envoyait un élément H ∈ t
sur H − −H, b(s), où b(s) est un certain élément de z(G
1 (s))
∗ . L’homomorphisme
Ξ(s) envoie aussi un élément H ∈ t sur H − −H, b(s). Le chemin nord-est du
diagramme envoie H sur C(H) − −H, b(s). Le chemin sud-ouest envoie H sur
C(H) − −C(H), b(s). Mais C est une conjugaison par un élément de G
(s) SC et
fixe donc b(s) qui est central. Donc H, b(s) = C(H), b(s), d’où la commutativité
cherchée.
On est dans un cas particulier très simple de la théorie locale rappelée en [III]
section 5 et [V] 4.1 . Celle-ci nous dit que G
(s) η,SC est un «groupe endoscopique»
de G η,SC . Ces deux groupes sont ici égaux. En particulier, on peut prendre pour
facteur de transfert pour cette donnée endoscopique celui qui vaut 1 sur la diagonale. La relation [V] 4.1(1) implique alors l’existence d’une constante d(s) = 0 telle
que la propriété suivante soit vérifiée. Soit X sc ∈ g η,SC (R) un élément régulier et
Z ∈ z(G η ; R) en position générale. Ces éléments sont tous deux proches de 0. On
considère X sc comme fixé et Z comme variable. Alors
lim
Z→0
Δ 1 (s)(exp(Z + X sc )η 1 (s), exp(Z + X sc )η) = d(s).
Le premier Z + X sc est identifié à un élément de g
1 (s) par la section g
(s) → g
1 (s)
que l’on a fixée. Appliquons cela à X sc ∈ t sc (R). Le facteur de transfert ci-dessus
n’est autre que τ (s; Z + X sc )
−1 . Sa limite est τ (s; X sc )
−1 . On a déjà dit que
τ (s; X sc ) était constant, on a noté sa valeur τ (s; 0). On obtient d(s) = τ (s; 0)
−1 .
Supposons maintenant X sc ∈ t sc (R). Alors Z + X sc ∈ t(R). On a dit en 3.1
qu’alors Δ 1 (s)(exp(Z + X sc )η 1 (s), exp(Z + X sc )η) était le produit de e
b(s),Z et
d’une fonction localement constante sur les éléments Z +X sc assez réguliers. Ce qui
précède montre que cette fonction est constante, de valeur τ (s; 0)
−1 . On peut donc
étendre la définition de Δ 1 (s)(exp(Z +X sc )η 1 (s), exp(Z +X sc )η) ou, si l’on préfère,
de Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η) pour X ∈ t(R) (sans condition de régularité), par
l’égalité
(11)
Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η) = τ (s; 0)
−1 e
b(s),X .