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Chapitre IX. Le cas archimédien
s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R , on a introduit en 3.1 un isomorphisme qui devient ici un
automorphisme de Sym(t), que l’on note Ξ(s). On pose U (s) = Ξ(s)(U ). De l’expression précédente se déduit l’égalité
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) = ∂ U φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M) ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)∂ U(s) S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
On applique maintenant cette égalité au point X = rH d , où r est réel non nul
et proche de 0. Remarquons que, puisque le tore T d se projette dans le centre
de ˜
M , l’élément H d est fixé par ad y −1 pour tout y ∈ ˙
Y
M (η). Remarquons aussi
que, pour tout s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α , H d provient d’un élément de m
(s) η,SC (R), a fortiori
d’un élément de g
(s) SC (R). Comme on l’a dit en 3.1, il en résulte que la fonction
r → τ (s; rH d ) est constante. On note τ (s; 0) sa valeur constante. On obtient alors
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f )
(10)
= ∂ U φ(rH d ) +
y∈ ˙
Y M (η)
∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M)
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; 0)∂ U(s) S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
exp(rH d )η 1 (s), f
˜
G
1 (s)
.
Les deux premières assertions de l’énoncé en résultent. En effet, ces assertions sont vérifiées par la fonction φ qui est C
∞ . Elles le sont pour les intégrales
orbitales de la première somme d’après la proposition 4.1. En raisonnant par récurrence, elles le sont aussi pour les intégrales orbitales stables de la deuxième
somme (puisqu’on somme sur s = 1).
Prouvons l’assertion (iii). L’élément η, vu comme un élément de ˜
M (R), est
˜
G-équisingulier. D’après [V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) tel que,
pour tout X ∈ m η (R) assez proche de 0, on ait l’égalité
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = S
˜
M (exp(X)η, ϕ).
Alors l’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales
stables. Le même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv), l’élement U intervenant étant antisymétrique, c’est-à-dire tel que
w c (U ) = −U .
Il reste à prouver la première égalité de cette assertion (iv). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α ,
on a vu que G
(s) η,SC était isomorphe à SL(2). L’ensemble de racines de G
(s) η
relatif au sous-tore maximal T est {±α}. Les deux groupes G η et G
(s) η sont donc
quasi-déployés. Ils ont un tore maximalement déployé commun (le tore T ) et ont
Chapitre IX. Le cas archimédien
s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R , on a introduit en 3.1 un isomorphisme qui devient ici un
automorphisme de Sym(t), que l’on note Ξ(s). On pose U (s) = Ξ(s)(U ). De l’expression précédente se déduit l’égalité
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) = ∂ U φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M) ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)∂ U(s) S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
On applique maintenant cette égalité au point X = rH d , où r est réel non nul
et proche de 0. Remarquons que, puisque le tore T d se projette dans le centre
de ˜
M , l’élément H d est fixé par ad y −1 pour tout y ∈ ˙
Y
M (η). Remarquons aussi
que, pour tout s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α , H d provient d’un élément de m
(s) η,SC (R), a fortiori
d’un élément de g
(s) SC (R). Comme on l’a dit en 3.1, il en résulte que la fonction
r → τ (s; rH d ) est constante. On note τ (s; 0) sa valeur constante. On obtient alors
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f )
(10)
= ∂ U φ(rH d ) +
y∈ ˙
Y M (η)
∂ U[y] I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M)
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; 0)∂ U(s) S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
exp(rH d )η 1 (s), f
˜
G
1 (s)
.
Les deux premières assertions de l’énoncé en résultent. En effet, ces assertions sont vérifiées par la fonction φ qui est C
∞ . Elles le sont pour les intégrales
orbitales de la première somme d’après la proposition 4.1. En raisonnant par récurrence, elles le sont aussi pour les intégrales orbitales stables de la deuxième
somme (puisqu’on somme sur s = 1).
Prouvons l’assertion (iii). L’élément η, vu comme un élément de ˜
M (R), est
˜
G-équisingulier. D’après [V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) tel que,
pour tout X ∈ m η (R) assez proche de 0, on ait l’égalité
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = S
˜
M (exp(X)η, ϕ).
Alors l’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales
stables. Le même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv), l’élement U intervenant étant antisymétrique, c’est-à-dire tel que
w c (U ) = −U .
Il reste à prouver la première égalité de cette assertion (iv). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α ,
on a vu que G
(s) η,SC était isomorphe à SL(2). L’ensemble de racines de G
(s) η
relatif au sous-tore maximal T est {±α}. Les deux groupes G η et G
(s) η sont donc
quasi-déployés. Ils ont un tore maximalement déployé commun (le tore T ) et ont