IX.4. Propriétés locales
1033
La distribution δ
M
(t) étant à support ˜
G-équisingulier, on peut utiliser la proposition [V] 1.13 qui nous dit que
I
˜
G,E
˜
M
(M
(t), δ
M
(t) , f) = I
˜
G
˜
M
(transfert(δ
M
(t) ), f).
Le transfert commutant à l’induction, le transfert de δ
M
(t) est l’induite du transfert de δ. Ce dernier est l’intégrale orbitale stable dans ˜
M (R) associée à exp(X)η ou
encore la somme sur y ∈ ˙
Y
M (η) des intégrales orbitales associées à exp(X[y])η[y].
Son induite est la même somme d’intégrales orbitales, cette fois sur ˜
M (R). On
obtient
(9)
B(X; t) = i
˜
G
˜
M
(η)
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
si t = 1, tandis que B(X; 1) est le même terme moins
i
˜
G
˜
M
(η)S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ).
A ce dernier terme près, les B(X; t) sont tous égaux. Leur somme est donc le
membre de gauche de (9) multiplié par le nombre d’éléments de l’ensemble de
sommation, c’est-à-dire
[Z( ˆ
M )
ˆ
α : Z( ˆ
M )
Γ R ].
Ce facteur compense le terme i
˜
G
˜
M
(η) figurant dans (9). D’où
t∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
M ) Γ R
B(X; t)
=
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
− i
˜
G
˜
M
(η)S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ).
En se reportant à la définition de B(X), on obtient
B(X) = i
˜
G
˜
M
(η)S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ).
Le membre de gauche de (7) devient simplement S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) et on a obtenu l’égalité
S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) = φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M) ˆ
α /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Soit U ∈ Sym(t). Pour tout y ∈ ˙
Y
M (η), ad y −1 envoie T sur un tore T [y] défini sur R et envoie conformément U sur un élément U [y] ∈ Sym(t[y]). Pour tout