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Chapitre IX. Le cas archimédien
où
B(X) =
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M)
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)i
˜
G
(s)
˜
M
(η)S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Considérons B(X). On peut décomposer la somme en s en une somme en t ∈
Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
M )
Γ R suivie d’une somme en s ∈ tZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , avec s = 1. C’està-dire
B(X) =
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f) −
t∈Z( ˆ
M ) ˆ
α /Z( ˆ
M ) Γ R
B(X; t),
où
B(X; t) =
s∈tZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)i
˜
G
(s)
˜
M
(η)S
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Fixons t. On voit que, pour s ∈ tZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , ˜
M
1 (s) est l’image réciproque
dans ˜
G
1 (s) d’un espace de Levi ˜
M
(t) indépendant de s. C’est l’espace de la donnée
endoscopique M
(t) de (M , ˜
M ). Un calcul simple conduit à l’égalité
(8)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
(s)
˜
M
(η) = i ˜
M
(t) ( ˜
G, ˜
G
(s))i
˜
G
˜
M
(η).
Pour un moment, notons pour plus de clarté δ l’intégrale orbitale stable sur ˜
M (R)
associée à exp(X)η. Comme on l’a dit, pour tout s, elle s’identifie à l’intégrale
orbitale stable sur ˜
M 1 (s; R) associée à exp(X)η 1 (s), multipliée par τ (s, X). Notons
δ(s) cette distribution. La distribution qui intervient dans la définition de B(X; t)
est la distribution induite δ(s)
˜
M
1 (s) . C’est la réalisation de la distribution δ
M
(t)
∈
D
st
g´ eom (M
(t)). Si on oublie la restriction s = 1 dans la définition de B(X; t), on
voit alors en utilisant (8) que
B(X; t) = i
˜
G
˜
M
(η)I
˜
G,E
˜
M
(M
(t), δ
M
(t) , f).
On rétablit cette restriction s = 1 en retirant de la formule ci-dessus l’éventuel
terme correspondant à s = 1. On obtient que B(X, t) est donné par la formule
ci-dessus pour t = 1, tandis que
B(X; 1) = i
˜
G
˜
M
(η)(I
˜
G,E
˜
M
(M, δ
M , f) − S
˜
G
˜
M
(δ
M , f)).