IX.4. Propriétés locales
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au voisinage de η 1 (s), on peut remplacer ces fonctions par des fonctions à support
compact. La norme |ˇ α| ne dépend pas de s car la norme provient d’une forme
quadratique qui, d’après nos définitions, ne change pas quand on remplace ˜
G par
˜
G
(s). L’espace ˜
M
1 (s) est l’espace de Levi de ˜
G
1 (s) tel que A ˜
M
1 (s) soit le noyau de
α dans A ˜
M
1 (s) . Ou encore, notons ˜
M
(s) l’espace de Levi de ˜
G
(s) tel que A ˜
M
(s)
soit le noyau de α dans A ˜
M , autrement dit A ˜
M
(s) = A ˜
M . Alors ˜
M
1 (s) est l’image
réciproque de ˜
M
(s) dans ˜
G
1 (s). Montrons que
(4)
i
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(η 1 (s)) = i
˜
G
(s)
˜
M
(η).
On a les suites exactes
1 → Z( ˆ
M ) → Z( ˆ
M 1 (s)) → ˆ
C 1 (s) → 1,
1 → Z( ˆ
M
(s)) → Z( ˆ
M
1 (s)) → ˆ
C 1 (s) → 1.
Parce que C 1 (s) est un tore induit, ˆ
C 1 (s)
Γ R est connexe. On en déduit que les
suites
(5)
1 → Z( ˆ
M )
Γ R → Z( ˆ
M 1 (s))
Γ R → ˆ
C 1 (s)
Γ R → 1,
1 → Z( ˆ
M
(s))
Γ R → Z( ˆ
M
1 (s))
Γ R → ˆ
C 1 (s)
Γ R → 1.
sont encore exactes. De la première se déduit une suite
(6)
1 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
→ Z( ˆ
M 1 (s))
ˆ
α
→ ˆ
C 1 (s)
Γ R → 1.
Elle est encore exacte. En effet, le seul point non évident est la surjectivité de
l’homomorphisme de droite. Cette surjectivité est assurée par celle du dernier
homomorphisme de (5) et par l’inclusion
Z( ˆ
M
1 (s))
Γ R ⊂ Z( ˆ
M 1 (s))
ˆ
α .
L’exactitude des deux suites (5) et (6) entraîne l’égalité
[Z( ˆ
M )
ˆ
α : Z( ˆ
M
(s))
Γ R ] = [Z( ˆ
M 1 (s))
ˆ
α : Z( ˆ
M
1 (s))
Γ R ],
d’où (4).
On peut aussi exprimer les intégrales I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f) à l’aide des intégrales modifiées I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X[y])η[y], f). On transforme ainsi l’expression (3) en
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) + |ˇ α| log(|α(X)|)B(X) = φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
(7)
−
s∈Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ),