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Chapitre IX. Le cas archimédien
selon la recette de 3.1, c’est-à-dire en fixant au préalable une décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (s) = c 1 (s) ⊕ g
(s).
Comme on l’a expliqué en 3.1, il y a une fonction X → τ (s; X) sur t(F ) de sorte
que l’on ait l’égalité
S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ) = τ (s; X)S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Il résulte des définitions que τ (s, X) = Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η)
−1 si exp(X)η
est fortement ˜
G-régulier.
Supposons d’abord ˆ
α(s) = 1, autrement dit s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α . En utilisant encore
une fois la description du système de racines de G
(s) η , cf. [79] 3.3, on voit que
G
(s) η = T . Alors η est ˜
G
(s)-équisingulier et η 1 (s) est ˜
G
1 (s)-équisingulier. D’après
[V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M 1 (s); F ) de sorte que l’on ait l’égalité
S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ) = S
˜
M
1 (s) (exp(X)η 1 (s), ϕ).
Mais le point η 1 (s) est régulier dans ˜
M
1 (s). On sait qu’alors l’intégrale ci-dessus
est C
∞ en X. Il en est de même de la fonction X → τ (s; X). Donc X →
S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ) est C
∞ . Les indices s n’appartenant pas à Z( ˆ
M )
ˆ
α contribuent donc au membre de droite de l’égalité (2) par une fonction C
∞ . Cela permet
de récrire cette égalité sous la forme
(3)
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M) ˆ
α /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ),
où φ est une fonction C
∞ de X.
Supposons maintenant ˆ
α(s) = 1, autrement dit s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α . Dans ce cas,
l’ensemble de racines de G
(s) η relatif à T est égal à {±α}. Puisque l’action galoisienne sur T n’a pas changé, α est encore réelle, c’est-à-dire fixe par Γ R . Il en
résulte que G
(s) η,SC est isomorphe à SL(2). Autrement dit, η et ˜
T vérifient encore les hypothèses de 4.1 où l’on remplace ˜
G par ˜
G
(s). On dispose donc sur t(R)
de l’intégrale orbitale stable modifiée
S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ) = S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) )
+i
˜
G
1 (s)
˜
M1
(η 1 (s))|ˇ α| log(|α(X)|)S
˜
G
1 (s)
˜
M 1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Expliquons davantage. Le fait que l’on travaille ici avec des fonctions qui se transforment selon le caractère λ 1 (s) de C 1 (s; R) ne perturbe rien : puisqu’on travaille
Chapitre IX. Le cas archimédien
selon la recette de 3.1, c’est-à-dire en fixant au préalable une décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (s) = c 1 (s) ⊕ g
(s).
Comme on l’a expliqué en 3.1, il y a une fonction X → τ (s; X) sur t(F ) de sorte
que l’on ait l’égalité
S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ) = τ (s; X)S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Il résulte des définitions que τ (s, X) = Δ 1 (s)(exp(X)η 1 (s), exp(X)η)
−1 si exp(X)η
est fortement ˜
G-régulier.
Supposons d’abord ˆ
α(s) = 1, autrement dit s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α . En utilisant encore
une fois la description du système de racines de G
(s) η , cf. [79] 3.3, on voit que
G
(s) η = T . Alors η est ˜
G
(s)-équisingulier et η 1 (s) est ˜
G
1 (s)-équisingulier. D’après
[V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M 1 (s); F ) de sorte que l’on ait l’égalité
S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ) = S
˜
M
1 (s) (exp(X)η 1 (s), ϕ).
Mais le point η 1 (s) est régulier dans ˜
M
1 (s). On sait qu’alors l’intégrale ci-dessus
est C
∞ en X. Il en est de même de la fonction X → τ (s; X). Donc X →
S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ) est C
∞ . Les indices s n’appartenant pas à Z( ˆ
M )
ˆ
α contribuent donc au membre de droite de l’égalité (2) par une fonction C
∞ . Cela permet
de récrire cette égalité sous la forme
(3)
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = φ(X) +
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M) ˆ
α /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ),
où φ est une fonction C
∞ de X.
Supposons maintenant ˆ
α(s) = 1, autrement dit s ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α . Dans ce cas,
l’ensemble de racines de G
(s) η relatif à T est égal à {±α}. Puisque l’action galoisienne sur T n’a pas changé, α est encore réelle, c’est-à-dire fixe par Γ R . Il en
résulte que G
(s) η,SC est isomorphe à SL(2). Autrement dit, η et ˜
T vérifient encore les hypothèses de 4.1 où l’on remplace ˜
G par ˜
G
(s). On dispose donc sur t(R)
de l’intégrale orbitale stable modifiée
S
˜
G
1 (s),mod
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ) = S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) )
+i
˜
G
1 (s)
˜
M1
(η 1 (s))|ˇ α| log(|α(X)|)S
˜
G
1 (s)
˜
M 1 (s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Expliquons davantage. Le fait que l’on travaille ici avec des fonctions qui se transforment selon le caractère λ 1 (s) de C 1 (s; R) ne perturbe rien : puisqu’on travaille