IX.4. Propriétés locales
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(iv) Soit U ∈ Sym(t), supposons w d (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a
les égalités
lim
r→0+
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f ) − lim
r→0−
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f )
= 2πi|ˇ α|i
˜
G
˜
M
(η) lim
r→0+
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f )
= −2πi|ˇ α|i
˜
G
˜
M
(η) lim
r→0−
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f ).
Preuve. Considérons un élément X ∈ t(R) ∩ g η,reg (R) proche de 0. Remarquons
que, puisque M η = T = M exp(X)η , on peut supposer ˙
Y
M (exp(X)η) = ˙
Y
M (η).
Montrons que
(1) on peut supposer
˙
Y
M (exp(X)η) = ˙
Y
M (η).
Puisque M exp(X)η = T , on a simplement Y
M (exp(X)η) = Y
M (exp(X)η) ∩
M ⊂ Y
M (exp(X)η). On veut montrer que de cette injection se déduit une bijection
T \Y
M (exp(X)η)/M (R) T \Y
M (exp(X)η)/M (R).
D’après ce que l’on a dit plus haut, il suffit de voir que les noyaux des applications
H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M ) et H
1 (Γ R ; T ) → H
1 (Γ R ; M )
sont égaux. Or ces applications s’inscrivent dans un diagramme commutatif
H
1 (Γ R ; M )
H
1 (Γ R ; T )
↓
H
1 (Γ R ; M )
La flèche de droite est injective car M est un Levi de M . L’égalité cherchée en
résulte. Cela prouve (1).
Pour tout y ∈ ˙
Y
M (η), on pose X[y] = ad y −1 (X). Les définitions entraînent
(2)
S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) =
y∈ ˙
Y M (η)
I
˜
G
˜
M
(exp(X[y])η[y], f)
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(exp(X)η, f
G
(s) ).
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R tel que G
(s) soit elliptique. On fixe des données auxiliaires G
1 (s),. . .,Δ 1 (s), on note ˜
M 1 (s), resp. ˜
T 1 (s), les images réciproques de ˜
M ,
resp. ˜
T , dans ˜
G
1 (s) ; on fixe η 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s; R) au-dessus de η. On doit aussi fixer
une décomposition
t 1 (s) = c 1 (s) ⊕ t