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Chapitre IX. Le cas archimédien
Soulignons que les ensembles ci-dessus ne sont pas des groupes. Le noyau est
l’ensemble des éléments de H
1 (Γ R ; G ) qui deviennent des cobords dans G. Si
est fortement régulier dans ˜
G(R), la famille (η[y]) y∈ ˙
Y() est un ensemble de
représentants des classes de conjugaison par G(R) dans la classe de conjugaison
stable de . Dans ce cas, modulo le choix de mesures de Haar sur les groupes
intervenant, on a défini l’intégrale orbitale stable associée à comme la forme
linéaire qui, à f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), associe
S
˜
G (, f ) =
y∈ ˙
Y()
I
˜
G ([y], f).
Si est régulier mais pas fortement régulier, la famille (η[y]) y∈ ˙
Y() n’ est plus, en
général, un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans
la classe de conjugaison stable de . On définit néanmoins S
˜
G (, f ) par la formule
ci-dessus. Pour Y ∈ g (R) voisin de 0 et en position générale, l’élément exp(Y )
est fortement régulier et on voit que l’on peut choisir ˙
Y(exp(Y )) = ˙
Y(). Parce
que les intégrales orbitales ordinaires sont continues en un point régulier, on a la
propriété de continuité
S
˜
G (, f ) = lim
Y →0
S
˜
G (exp(Y ), f ).
Cela entraîne que la distribution de gauche est stable. Soient ˜
L un espace de Levi
de ˜
G et un élément semi-simple de ˜
L(R), régulier dans cet ensemble. On définit
les ensembles Y
L () et ˙
Y
L () en remplaçant G par L dans les définitions ci-dessus.
On vient de définir une distribution stable δ = S
˜
L (, .) sur ˜
L(R) associée à ,
qui est une combinaison linéaire d’intégrales orbitales. On sait donc définir la
distribution f → S
˜
G
˜
L
(δ , f) sur ˜
G(R). On la note simplement f → S
˜
G
˜
L
(, f ).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et X ∈ t(R) ∩ g η,reg (R) assez proche de 0, on pose
S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) = S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) + i
˜
G
˜
M
(η)|ˇ α| log(|α(X)|)S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ).
Remarquons que l’élément exp(X)η est régulier dans ˜
M (R) et dans ˜
M (R).
Proposition. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
(i) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites
lim
r→0+
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f ) et
lim
r→0−
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f )
existent.
(ii) Si w d (U ) = U , ces limites sont égales.
(iii) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites
lim
r→0+
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f ) et
lim
r→0−
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f )
existent.
Chapitre IX. Le cas archimédien
Soulignons que les ensembles ci-dessus ne sont pas des groupes. Le noyau est
l’ensemble des éléments de H
1 (Γ R ; G ) qui deviennent des cobords dans G. Si
est fortement régulier dans ˜
G(R), la famille (η[y]) y∈ ˙
Y() est un ensemble de
représentants des classes de conjugaison par G(R) dans la classe de conjugaison
stable de . Dans ce cas, modulo le choix de mesures de Haar sur les groupes
intervenant, on a défini l’intégrale orbitale stable associée à comme la forme
linéaire qui, à f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), associe
S
˜
G (, f ) =
y∈ ˙
Y()
I
˜
G ([y], f).
Si est régulier mais pas fortement régulier, la famille (η[y]) y∈ ˙
Y() n’ est plus, en
général, un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans
la classe de conjugaison stable de . On définit néanmoins S
˜
G (, f ) par la formule
ci-dessus. Pour Y ∈ g (R) voisin de 0 et en position générale, l’élément exp(Y )
est fortement régulier et on voit que l’on peut choisir ˙
Y(exp(Y )) = ˙
Y(). Parce
que les intégrales orbitales ordinaires sont continues en un point régulier, on a la
propriété de continuité
S
˜
G (, f ) = lim
Y →0
S
˜
G (exp(Y ), f ).
Cela entraîne que la distribution de gauche est stable. Soient ˜
L un espace de Levi
de ˜
G et un élément semi-simple de ˜
L(R), régulier dans cet ensemble. On définit
les ensembles Y
L () et ˙
Y
L () en remplaçant G par L dans les définitions ci-dessus.
On vient de définir une distribution stable δ = S
˜
L (, .) sur ˜
L(R) associée à ,
qui est une combinaison linéaire d’intégrales orbitales. On sait donc définir la
distribution f → S
˜
G
˜
L
(δ , f) sur ˜
G(R). On la note simplement f → S
˜
G
˜
L
(, f ).
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et X ∈ t(R) ∩ g η,reg (R) assez proche de 0, on pose
S
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, f ) = S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) + i
˜
G
˜
M
(η)|ˇ α| log(|α(X)|)S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ).
Remarquons que l’élément exp(X)η est régulier dans ˜
M (R) et dans ˜
M (R).
Proposition. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
(i) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites
lim
r→0+
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f ) et
lim
r→0−
∂ U S
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, f )
existent.
(ii) Si w d (U ) = U , ces limites sont égales.
(iii) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites
lim
r→0+
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f ) et
lim
r→0−
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, f )
existent.