IX.4. Propriétés locales
1027
(ii) Si w d (U ) = U , ces limites sont égales.
(iii) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ) et
lim
r→0−
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
existent.
(iv) Soit U ∈ Sym(t
θ ), supposons w d (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a
les égalités
lim
r→0+
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) − lim
r→0−
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
= 2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0+
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
= −2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0−
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ).
Cf. [9] lemme 13.1. La différence entre notre constante 2
1+c(η) πi|ˇ α| et celle
d’Arthur provient de nos normalisations différentes.
IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables
On conserve les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent. On impose de
plus que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un sous-groupe
de Borel de G contenant T et pour lequel M et M sont standard. Complétons
(B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. Fixons une paire de Borel épinglée ˆ
E
de ˆ
G conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore ˆ
T (l’action galoisienne
sur ce tore n’en fait pas le tore dual de T ). On en déduit des réalisations de ˆ
M et ˆ
M
comme des groupes de Levi standard de ˆ
G. De la coracine ˇ
α se déduit une racine
ˆ
α de ˆ
T qui se restreint en un caractère non trivial de Z( ˆ
M )
Γ R . Notons Z( ˆ
M )
ˆ
α le
groupe des s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R tels que ˆ
α(s) = 1. Il résulte des définitions que Z( ˆ
M )
Γ R
est inclus dans ce groupe. Plus précisément, Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R est la composante
neutre de Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R . On pose
i
˜
G
˜
M
(η) = [Z( ˆ
M )
ˆ
α : Z( ˆ
M )
Γ R ]
−1 .
Pour tout élément semi-simple ∈ ˜
G(R), posons
Y() = {y ∈ G(C); ∀σ ∈ Γ R , yσ(y)
−1
∈ G }.
Pour un element y de cet ensemble, on pose [y] = y
−1 y. On fixe un ensemble de
représentants ˙
Y() de l’ensemble de doubles classes
G \Y()/G(R).
Remarquons que l’application qui, à y ∈ ˙
Y(), associe la classe du cocycle σ →
yσ(y)
−1 , est une bijection de ˙
Y() sur le noyau de l’application
H
1 (Γ R ; G ) → H
1 (Γ R ; G).
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(ii) Si w d (U ) = U , ces limites sont égales.
(iii) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ) et
lim
r→0−
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
existent.
(iv) Soit U ∈ Sym(t
θ ), supposons w d (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a
les égalités
lim
r→0+
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) − lim
r→0−
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
= 2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0+
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
= −2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0−
∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ).
Cf. [9] lemme 13.1. La différence entre notre constante 2
1+c(η) πi|ˇ α| et celle
d’Arthur provient de nos normalisations différentes.
IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables
On conserve les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent. On impose de
plus que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un sous-groupe
de Borel de G contenant T et pour lequel M et M sont standard. Complétons
(B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. Fixons une paire de Borel épinglée ˆ
E
de ˆ
G conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore ˆ
T (l’action galoisienne
sur ce tore n’en fait pas le tore dual de T ). On en déduit des réalisations de ˆ
M et ˆ
M
comme des groupes de Levi standard de ˆ
G. De la coracine ˇ
α se déduit une racine
ˆ
α de ˆ
T qui se restreint en un caractère non trivial de Z( ˆ
M )
Γ R . Notons Z( ˆ
M )
ˆ
α le
groupe des s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R tels que ˆ
α(s) = 1. Il résulte des définitions que Z( ˆ
M )
Γ R
est inclus dans ce groupe. Plus précisément, Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R est la composante
neutre de Z( ˆ
M )
ˆ
α /Z( ˆ
G)
Γ R . On pose
i
˜
G
˜
M
(η) = [Z( ˆ
M )
ˆ
α : Z( ˆ
M )
Γ R ]
−1 .
Pour tout élément semi-simple ∈ ˜
G(R), posons
Y() = {y ∈ G(C); ∀σ ∈ Γ R , yσ(y)
−1
∈ G }.
Pour un element y de cet ensemble, on pose [y] = y
−1 y. On fixe un ensemble de
représentants ˙
Y() de l’ensemble de doubles classes
G \Y()/G(R).
Remarquons que l’application qui, à y ∈ ˙
Y(), associe la classe du cocycle σ →
yσ(y)
−1 , est une bijection de ˙
Y() sur le noyau de l’application
H
1 (Γ R ; G ) → H
1 (Γ R ; G).