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Chapitre IX. Le cas archimédien
égal à T
θ,0 . Puisque M contient G η tandis que M ne le contient pas, l’inclusion
˜
M ⊂ ˜
M est stricte. Les inclusions
A Gη ⊂ A ˜
M ⊂ A ˜
M = A T θ,0
jointes aux faits que la deuxième inclusion est stricte et que la différence des
dimensions entre le tore de droite et celui de gauche est 1 entraîne que la première
inclusion est une égalité et que ˜
M est maximal parmi les espaces de Levi propres
de ˜
M . Enfin, que ˜
T soit elliptique dans ˜
M résulte simplement de la définition de
cet espace de Levi.
On fixe l’une des racines de T
θ,0 dans G η , que l’on note α. On introduit la
coracine associée, que l’on peut voir comme un élément ˇ
α ∈ X ∗ (T
θ,0 ). On a même
ˇ
α ∈ X ∗ (A ˜
M ). On se rappelle que l’on a fixé une forme quadratique définie positive
sur A ˜
M = X ∗ (A ˜
M ) ⊗ Z R, qui nous sert à définir la mesure sur cet espace. On
dispose donc de la norme |ˇ α| pour cette forme. Cela étant, on définit au voisinage
0 dans t
θ (R) une modification de l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante de
la façon suivante. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et X ∈ t
θ (R) assez proche de 0, on pose
I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f ) + |ˇ α| log(|α(X)|)I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f ).
On fixe un élément u ∈ G η,SC (C) tel que ad u (T d ) = T c . Alors ad u envoie
t d (R) sur it c (R). Fixons un élément non nul H d ∈ t d (R) et introduisons l’élément
H c de t c (R) tel que ad u (H d ) = iH c . De l’application ad u se déduit un isomorphisme
C : Sym(t
θ,0 ) → Sym(t
θ,0 ). On note w d , resp. w c , l’unique élément non trivial du
groupe de Weyl de G η relativement à T
θ,0 , resp. T
θ,0 . L’isomorphisme C entrelace
l’action de w d sur le premier espace avec celle de w c sur le second. On a fixé une
mesure sur T
θ,0 (R) pour définir nos intégrales orbitales. Elle se déduit d’une forme
différentielle de rang maximal sur T
θ,0 , autrement dit d’un élément d ∈ ∧
n
t
θ,∗ (R)
où n = dim(T
θ,0 ). De ad u se déduit un isomorphisme ∧
n
t
θ,∗
∧
n
t
θ,∗ , qui se
restreint en un isomorphisme de ∧
n
t
θ,∗ (R) sur i ∧
n
t
θ,∗ (R). On introduit l’élément
d ∈ ∧
n
t
θ,∗ (R) tel que ad u (d) = id. De d se déduit alors une mesure sur T
θ,0 (R)
qui nous sert à définir les intégrales orbitales dans ce qui suit.
Il y a deux possibilités pour la classe de conjugaison stable de H c dans g η (R).
Soit elle est réduite à la classe de conjugaison de H c par G η (R), auquel cas on
pose c(η) = 0. Soit elle se décompose en deux classes de conjugaison par G η (R),
celles de H c et de −H c , auquel cas on pose c(η) = 1.
Selon l’usage, pour un voisinage V de 0 dans R et pour une fonction ϕ définie
sur V −{0}, on note lim r→0+ ϕ(r) et lim r→0− ϕ(r) les limites de ϕ(r) quand r tend
vers 0 en restant strictement positif, resp. négatif (ces limites existent ou pas).
Proposition. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
(i) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) et
lim
r→0−
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
existent.
Chapitre IX. Le cas archimédien
égal à T
θ,0 . Puisque M contient G η tandis que M ne le contient pas, l’inclusion
˜
M ⊂ ˜
M est stricte. Les inclusions
A Gη ⊂ A ˜
M ⊂ A ˜
M = A T θ,0
jointes aux faits que la deuxième inclusion est stricte et que la différence des
dimensions entre le tore de droite et celui de gauche est 1 entraîne que la première
inclusion est une égalité et que ˜
M est maximal parmi les espaces de Levi propres
de ˜
M . Enfin, que ˜
T soit elliptique dans ˜
M résulte simplement de la définition de
cet espace de Levi.
On fixe l’une des racines de T
θ,0 dans G η , que l’on note α. On introduit la
coracine associée, que l’on peut voir comme un élément ˇ
α ∈ X ∗ (T
θ,0 ). On a même
ˇ
α ∈ X ∗ (A ˜
M ). On se rappelle que l’on a fixé une forme quadratique définie positive
sur A ˜
M = X ∗ (A ˜
M ) ⊗ Z R, qui nous sert à définir la mesure sur cet espace. On
dispose donc de la norme |ˇ α| pour cette forme. Cela étant, on définit au voisinage
0 dans t
θ (R) une modification de l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante de
la façon suivante. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et X ∈ t
θ (R) assez proche de 0, on pose
I
˜
G,mod
˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f ) + |ˇ α| log(|α(X)|)I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f ).
On fixe un élément u ∈ G η,SC (C) tel que ad u (T d ) = T c . Alors ad u envoie
t d (R) sur it c (R). Fixons un élément non nul H d ∈ t d (R) et introduisons l’élément
H c de t c (R) tel que ad u (H d ) = iH c . De l’application ad u se déduit un isomorphisme
C : Sym(t
θ,0 ) → Sym(t
θ,0 ). On note w d , resp. w c , l’unique élément non trivial du
groupe de Weyl de G η relativement à T
θ,0 , resp. T
θ,0 . L’isomorphisme C entrelace
l’action de w d sur le premier espace avec celle de w c sur le second. On a fixé une
mesure sur T
θ,0 (R) pour définir nos intégrales orbitales. Elle se déduit d’une forme
différentielle de rang maximal sur T
θ,0 , autrement dit d’un élément d ∈ ∧
n
t
θ,∗ (R)
où n = dim(T
θ,0 ). De ad u se déduit un isomorphisme ∧
n
t
θ,∗
∧
n
t
θ,∗ , qui se
restreint en un isomorphisme de ∧
n
t
θ,∗ (R) sur i ∧
n
t
θ,∗ (R). On introduit l’élément
d ∈ ∧
n
t
θ,∗ (R) tel que ad u (d) = id. De d se déduit alors une mesure sur T
θ,0 (R)
qui nous sert à définir les intégrales orbitales dans ce qui suit.
Il y a deux possibilités pour la classe de conjugaison stable de H c dans g η (R).
Soit elle est réduite à la classe de conjugaison de H c par G η (R), auquel cas on
pose c(η) = 0. Soit elle se décompose en deux classes de conjugaison par G η (R),
celles de H c et de −H c , auquel cas on pose c(η) = 1.
Selon l’usage, pour un voisinage V de 0 dans R et pour une fonction ϕ définie
sur V −{0}, on note lim r→0+ ϕ(r) et lim r→0− ϕ(r) les limites de ϕ(r) quand r tend
vers 0 en restant strictement positif, resp. négatif (ces limites existent ou pas).
Proposition. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
(i) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) et
lim
r→0−
∂ U I
˜
G,mod
˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
existent.