IX.4. Propriétés locales
1025
D’après le lemme 3.3, le terme indexé par ˜
s est majoré par une puissance négative
de D
G
(˜ s) (Y ). On sait que, par l’homomorphisme ξ : t
θ
→ t
M
, les racines du
groupe G
(˜ s) s’identifie à des multiples rationnels de racines du groupe G η . Il en
résulte que D
G
(˜ s) (ξ(X))
−1 est majoré par D
Gη (X)
−1 dans un voisinage de 0.
On en déduit la majoration cherchée pour ∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f).
IX.4 Propriétés locales
IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
M et η un
élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ . On impose dans toute la section
les hypothèses (1), (2) et (3) ci-dessous :
(1) ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M ;
(2) G η,SC est isomorphe à SL(2) ;
(3) l’image réciproque T d de T
θ,0 dans G η,SC est un tore déployé.
Fixons un sous-tore maximal T c non déployé de G η,SC . Il existe un unique
sous-tore maximal de G η dont l’image réciproque dans G η,SC soit T c . On note T
son commutant dans G et ˜
T = T η. L’ensemble ˜
T est un sous-tore tordu maximal
de ˜
G. Notons ˜
M le plus petit espace de Levi dans lequel ˜
T est contenu, c’est-à-dire
le commutant de A ˜
T dans ˜
G. On a
(4) M η = T
θ,0 , M η = G η , A ˜
M = A Gη , ˜
M est un sous-espace de Levi propre et
maximal de ˜
M et ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M .
Preuve. Pour un sous-tore T
de G η qui est déployé, on a deux possibilités. Ou bien
son image dans G η,AD est triviale. Dans ce cas T
est contenu dans Z(G η ) et donc
(puisque c’est un tore déployé) dans A Gη . Ou bien l’image de T
dans G η,AD est de
rang 1 et possède au signe près une seule racine α. La composante neutre du noyau
de cette racine est alors un sous-tore T
de T
qui est du premier cas, donc contenu
dans A Gη . Et on a dim(T
) = dim(T
) − 1. Puisque T
θ,0 et T
θ,0 sont des soustores maximaux de G η , on a les inclusions A Gη ⊂ A T θ,0 , A Gη ⊂ A T θ,0 . Puisque
les images réciproques de T
θ,0 et T
θ,0 dans G η,SC sont respectivement déployées
et non déployées, la discussion précédente montre que A Gη = A T θ,0 , tandis que
dim(A T θ,0 ) = dim(A Gη ) + 1. La première égalité entraîne que le commutant M de
A T θ,0 dans G contient G η . A fortiori M η = G η . On a aussi A T θ,0 = A Gη ⊂ A T θ,0 .
En prenant les commutants dans ˜
G et en se rappelant que le commutant de A T θ,0
est ˜
M d’après (1), on obtient que ˜
M ⊂ ˜
M . Puisque l’image de A T θ,0 dans G η,AD
est égale à celle de T d , A T θ,0 ne commute pas à G η . Donc ce groupe G η n’est
pas contenu dans M . Donc l’inclusion M η ⊂ G η est stricte. Puisqu’il s’agit d’une
inclusion d’un Levi dans un groupe de rang semi-simple 1, M η est un tore, donc
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D’après le lemme 3.3, le terme indexé par ˜
s est majoré par une puissance négative
de D
G
(˜ s) (Y ). On sait que, par l’homomorphisme ξ : t
θ
→ t
M
, les racines du
groupe G
(˜ s) s’identifie à des multiples rationnels de racines du groupe G η . Il en
résulte que D
G
(˜ s) (ξ(X))
−1 est majoré par D
Gη (X)
−1 dans un voisinage de 0.
On en déduit la majoration cherchée pour ∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f).
IX.4 Propriétés locales
IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
M et η un
élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ . On impose dans toute la section
les hypothèses (1), (2) et (3) ci-dessous :
(1) ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M ;
(2) G η,SC est isomorphe à SL(2) ;
(3) l’image réciproque T d de T
θ,0 dans G η,SC est un tore déployé.
Fixons un sous-tore maximal T c non déployé de G η,SC . Il existe un unique
sous-tore maximal de G η dont l’image réciproque dans G η,SC soit T c . On note T
son commutant dans G et ˜
T = T η. L’ensemble ˜
T est un sous-tore tordu maximal
de ˜
G. Notons ˜
M le plus petit espace de Levi dans lequel ˜
T est contenu, c’est-à-dire
le commutant de A ˜
T dans ˜
G. On a
(4) M η = T
θ,0 , M η = G η , A ˜
M = A Gη , ˜
M est un sous-espace de Levi propre et
maximal de ˜
M et ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M .
Preuve. Pour un sous-tore T
de G η qui est déployé, on a deux possibilités. Ou bien
son image dans G η,AD est triviale. Dans ce cas T
est contenu dans Z(G η ) et donc
(puisque c’est un tore déployé) dans A Gη . Ou bien l’image de T
dans G η,AD est de
rang 1 et possède au signe près une seule racine α. La composante neutre du noyau
de cette racine est alors un sous-tore T
de T
qui est du premier cas, donc contenu
dans A Gη . Et on a dim(T
) = dim(T
) − 1. Puisque T
θ,0 et T
θ,0 sont des soustores maximaux de G η , on a les inclusions A Gη ⊂ A T θ,0 , A Gη ⊂ A T θ,0 . Puisque
les images réciproques de T
θ,0 et T
θ,0 dans G η,SC sont respectivement déployées
et non déployées, la discussion précédente montre que A Gη = A T θ,0 , tandis que
dim(A T θ,0 ) = dim(A Gη ) + 1. La première égalité entraîne que le commutant M de
A T θ,0 dans G contient G η . A fortiori M η = G η . On a aussi A T θ,0 = A Gη ⊂ A T θ,0 .
En prenant les commutants dans ˜
G et en se rappelant que le commutant de A T θ,0
est ˜
M d’après (1), on obtient que ˜
M ⊂ ˜
M . Puisque l’image de A T θ,0 dans G η,AD
est égale à celle de T d , A T θ,0 ne commute pas à G η . Donc ce groupe G η n’est
pas contenu dans M . Donc l’inclusion M η ⊂ G η est stricte. Puisqu’il s’agit d’une
inclusion d’un Levi dans un groupe de rang semi-simple 1, M η est un tore, donc