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Chapitre IX. Le cas archimédien
Pour tout i, notons ϕ
˜
M
i,1 son transfert à ˜
M
i,1 . Alors on a l’égalité
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, ϕ)
= c ˜
T
i=1,...,n
Δ i,1 (exp(ξ i (X)) i,1 , exp(X)η)
−1 S
˜
M
i,1
λi,1 (exp(ξ i (X)) i,1 , ϕ
˜
M
i,1 ).
Pour tout i = 1, . . . , n, on a défini l’intégrale I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , δ, f) pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
). On note simplement I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f) ce terme
quand δ est l’élément de l’espace D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) auquel s’identifie l’intégrale orbitale stable sur ˜
M
i,1 (R) associée au point exp(ξ i (X)) i,1 . Il résulte des définitions
que l’on a aussi
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, f )
= c ˜
T
i=1,...,n
Δ i,1 (exp(ξ i (X)) i,1 , exp(X)η)
−1 I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f).
Pour tout i, on a un homomorphisme Ξ i : Sym(t
θ ) → Sym(t
M
i ) comme en 3.1.
On a alors
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, f ) = c ˜
T
i=1,...,n
Δ i,1 (exp(ξ i (X)) i,1 , exp(X)η)
−1
∂ Ξi(U) I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f).
Précisons que ∂ Ξi(U) I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f) est la valeur en ξ i (X) de la
fonction Y → ∂ Ξi(U) I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(Y ) i,1 , f) sur t
M
i (R). La formule ci-dessus
nous permet de fixer i et de majorer ∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , exp(ξ i (X)) i,1 , f) pour U
∈
Sym(t
M
i ). Puisque i est fixé, on le fait disparaître de la notation et on pose
M
= (M
, M
, ˜
ζ). Pour tout ˜
s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , on introduit des données
auxiliaires G
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s). On introduit les images réciproques ˜
M
1 (˜ s) et ˜
T
M
1 (˜ s)
de ˜
M
et ˜
T
M
dans ˜
G
1 (˜ s). On fixe un point 1 (˜ s) ∈ ˜
T
M
1 (˜ s; R) au-dessus de et
une décomposition
t
M
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
M
selon la recette de 3.1. D’après 3.1, pour Y ∈ t
M
(R), l’intégrale orbitale dans
˜
M
1 (R) associée à exp(Y ) 1 s’identifie à l’intégrale orbitale dans ˜
M
1 (˜ s; R) associée
à exp(Y ) 1 (˜ s), multipliée par une fonction τ (˜ s, Y ). Un élément U
∈ Sym(t
M
) se
transfère en un élément Ξ(˜ s, U
) de la même algèbre. On a alors
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, exp(Y ) 1 , f) =
˜
s∈Z( ˆ
M)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
τ (˜ s, Y )∂ Ξ(˜ s,U ) S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(Y ) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).