IX.3. Majorations
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intégrales orbitales stables. Pour s = 1, on peut donc appliquer par récurrence
la majoration du lemme au terme ∂ Ξ1(s;U) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ). On
obtient que celui-ci est majoré par une puissance négative de D
G
1 (s) η 1 (s) (X). Ce
terme est égal à D
G
(s)η (X). Or le système de racines de G
(s) η est inclus dans
celui de G η . Dans un voisinage compact de 0, D
G
(s)η (X)
−1 est donc majoré par
D
Gη (X)
−1 . Les mêmes arguments qu’en 2.1 montrent que la majoration 3.2(4)
pour ∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) s’étend au terme ∂ U Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ). Tous les termes du
membre de droite de (1) sont donc majorés par une puissance négative de D
Gη (X).
L’assertion de l’énoncé s’ensuit.
IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques
On revient à la situation de 3.2 où (G, ˜
G, a) est quelconque. On suppose que ˜
G est
une composante connexe d’un K-espace K ˜
G. Alors ˜
M est une composante connexe
d’un K-espace de Levi K ˜
M et on suppose K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). Pour f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R))
et X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier, on sait définir l’intégrale orbitale
endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ).
Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Preuve. On peut fixer les objets suivants :
– une famille finie (M
i ) i=1,...,n de données endoscopiques elliptiques et relevantes de (M, ˜
M, a), munies de données auxiliaires M
i,1 ,. . .,Δ i,1 ;
– pour tout i = 1, . . . , n, un diagramme ( i , B
M
i , T
M
i , B
M
i , T, η) joignant η à
un élément semi-simple i ∈ ˜
M
i (R) ; on note ξ i : t
θ
→ t
M
i l’isomorphisme
déduit du diagramme ;
– pour tout i = 1, . . . , n, un relèvement i,1 ∈ ˜
M
i;1 (R) de i et, en notant T
M
i
1
l’image réciproque de T
M
i dans M
i,1 , une décomposition
t
M
i
1 = c i,1 ⊕ t
M
i
selon la recette de 3.1 ;
– un nombre c ˜
T > 0 ;
ces données vérifiant la condition suivante. Soit ϕ ∈ C
∞
c (K ˜
M (R)).
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intégrales orbitales stables. Pour s = 1, on peut donc appliquer par récurrence
la majoration du lemme au terme ∂ Ξ1(s;U) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ). On
obtient que celui-ci est majoré par une puissance négative de D
G
1 (s) η 1 (s) (X). Ce
terme est égal à D
G
(s)η (X). Or le système de racines de G
(s) η est inclus dans
celui de G η . Dans un voisinage compact de 0, D
G
(s)η (X)
−1 est donc majoré par
D
Gη (X)
−1 . Les mêmes arguments qu’en 2.1 montrent que la majoration 3.2(4)
pour ∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) s’étend au terme ∂ U Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ). Tous les termes du
membre de droite de (1) sont donc majorés par une puissance négative de D
Gη (X).
L’assertion de l’énoncé s’ensuit.
IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques
On revient à la situation de 3.2 où (G, ˜
G, a) est quelconque. On suppose que ˜
G est
une composante connexe d’un K-espace K ˜
G. Alors ˜
M est une composante connexe
d’un K-espace de Levi K ˜
M et on suppose K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). Pour f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R))
et X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier, on sait définir l’intégrale orbitale
endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ).
Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Preuve. On peut fixer les objets suivants :
– une famille finie (M
i ) i=1,...,n de données endoscopiques elliptiques et relevantes de (M, ˜
M, a), munies de données auxiliaires M
i,1 ,. . .,Δ i,1 ;
– pour tout i = 1, . . . , n, un diagramme ( i , B
M
i , T
M
i , B
M
i , T, η) joignant η à
un élément semi-simple i ∈ ˜
M
i (R) ; on note ξ i : t
θ
→ t
M
i l’isomorphisme
déduit du diagramme ;
– pour tout i = 1, . . . , n, un relèvement i,1 ∈ ˜
M
i;1 (R) de i et, en notant T
M
i
1
l’image réciproque de T
M
i dans M
i,1 , une décomposition
t
M
i
1 = c i,1 ⊕ t
M
i
selon la recette de 3.1 ;
– un nombre c ˜
T > 0 ;
ces données vérifiant la condition suivante. Soit ϕ ∈ C
∞
c (K ˜
M (R)).