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Chapitre IX. Le cas archimédien
On fixe des mesures de Haar sur G(R), M (R) et T
θ,0 (R) qui permettent de
définir les intégrales orbitales qui suivent. On a
(4) pour tout U ∈ Sym(t) θ,ω , il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Cf. [9] lemme 13.2.
IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables
On conserve la même situation mais on suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion
intérieure. On a
Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Preuve. Pour tout s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec s = 1, on fixe des données auxiliaires
G
1 (s),. . .,Δ 1 (s). On note ˜
M 1 (s) l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G
1 (s) et ˜
T 1 (s) celle
de ˜
T . On fixe un point η 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s; R) au-dessus de η et une décomposition
t 1 (s) = c 1 (s) ⊕ t
selon la recette de 3.1. Comme on l’a dit dans ce paragraphe (et en adaptant
les notations de façon compréhensible), l’intégrale orbitale sur ˜
M (R) associée à
exp(X)η s’identifie à celle sur ˜
M 1 (s; R) associée à exp(X)η 1 (s), multipliée par
une fonction que l’on note τ (s; X). L’élément U se transfère en un element que
l’on note Ξ 1 (s; U ) ∈ Sym(t). On identifie le transfert f
G
(s) à une fonction f
˜
G
1 (s)
sur ˜
G
1 (s; R). On introduit le terme Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) de 2.1. C’est la somme des
I
˜
G
˜
M
(exp(X
)η
, f) quand exp(X
)η
décrit un ensemble de représentants des classes
de conjugaison par M (R) dans la classe de conjugaison stable de exp(X)η dans
˜
M (R). On a alors l’égalité
(1)
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = ∂ U Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)∂ Ξ1(s;U) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Il est clair que le fait que f
˜
G
1 (s) ne soit pas à support compact mais se transforme
selon le caractère λ 1 (s) de C 1 (s; R) ne change rien aux propriétés locales de ses
Chapitre IX. Le cas archimédien
On fixe des mesures de Haar sur G(R), M (R) et T
θ,0 (R) qui permettent de
définir les intégrales orbitales qui suivent. On a
(4) pour tout U ∈ Sym(t) θ,ω , il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U I
˜
G
˜
M
(exp(X)η, ω, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Cf. [9] lemme 13.2.
IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables
On conserve la même situation mais on suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion
intérieure. On a
Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f )| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G(R).
Preuve. Pour tout s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec s = 1, on fixe des données auxiliaires
G
1 (s),. . .,Δ 1 (s). On note ˜
M 1 (s) l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G
1 (s) et ˜
T 1 (s) celle
de ˜
T . On fixe un point η 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s; R) au-dessus de η et une décomposition
t 1 (s) = c 1 (s) ⊕ t
selon la recette de 3.1. Comme on l’a dit dans ce paragraphe (et en adaptant
les notations de façon compréhensible), l’intégrale orbitale sur ˜
M (R) associée à
exp(X)η s’identifie à celle sur ˜
M 1 (s; R) associée à exp(X)η 1 (s), multipliée par
une fonction que l’on note τ (s; X). L’élément U se transfère en un element que
l’on note Ξ 1 (s; U ) ∈ Sym(t). On identifie le transfert f
G
(s) à une fonction f
˜
G
1 (s)
sur ˜
G
1 (s; R). On introduit le terme Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) de 2.1. C’est la somme des
I
˜
G
˜
M
(exp(X
)η
, f) quand exp(X
)η
décrit un ensemble de représentants des classes
de conjugaison par M (R) dans la classe de conjugaison stable de exp(X)η dans
˜
M (R). On a alors l’égalité
(1)
∂ U S
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f ) = ∂ U Λ
˜
G
˜
M
(exp(X)η, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))τ (s; X)∂ Ξ1(s;U) S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
(exp(X)η 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Il est clair que le fait que f
˜
G
1 (s) ne soit pas à support compact mais se transforme
selon le caractère λ 1 (s) de C 1 (s; R) ne change rien aux propriétés locales de ses