IX.3. Majorations
1021
On note Ξ 1 : Sym(t
θ ) → Sym(t
) l’isomorphisme composé. On prendra garde
que l’isomorphisme Ξ 1 n’est pas en général celui déduit de ξ. Avec les notations cidessus, l’isomorphisme Ξ 1 envoie un élément X ∈ t
θ sur l’élément ξ(X)−−b 1 , ξ(X).
En particulier, Ξ 1 dépend de la décomposition (1).
Considérons d’autres données auxiliaires G
2 , etc. . . et une décomposition
t
2 = c 2 ⊕ t
définie de la même façon que ci-dessus. On se souvient de l’application de transition ˜
λ 1,2 définie en [I] 2.5. On a rappelé en 1.8 l’isomorphisme C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R))
C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (R)). On déduit de ˜
λ 12 une fonction τ 12 sur t
(R) par
τ 12 (X) = ˜
λ 12 (exp(X) 1 , exp(X) 2 )
−1 .
La fonction ˜
λ 12 est C
∞ , il en est donc de même de la fonction τ 12 . Par définition
de ˜
λ 12 , on a l’égalité
τ 12 (X) = Δ 1 (exp(X) 1 , exp(ξ
−1 (X))η)Δ 2 (exp(X) 2 , exp(ξ
−1 (X))η)
−1
si exp(ξ
−1 (X))η est fortement régulier. Il résulte de ce qui précède qu’il existe un
élément b 12 ∈ z(G
)
∗ tel que τ 12 (X) soit le produit d’une constante non nulle avec
la fonction X → e
b12,X (b 12 est la différence entre les projections de b 1 et b 2 dans
z(G
)
∗ ). En particulier, τ 12 prend la même valeur sur des points stablement conjugués. Fixons une mesure de Haar sur T
(R). Pour X régulier, l’application duale
de la précédente envoie l’intégrale orbitale associée à exp(X) 1 et à cette mesure
sur l’intégrale orbitale associée à exp(X) 2 et à cette même mesure, multipliée par
τ 12 (X). Pour H ∈ Sym(t
θ ), notons H 1 = Ξ 1 (H) et H 2 = Ξ 2 (H). Il se déduit de
H 1 et H 2 des opérateurs différentiels ∂ H1 et ∂ H2 sur t
(R). On a l’égalité
∂ H2 = τ
−1
12 ◦ ∂ H1 ◦ τ 12 .
IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
M et η un
élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ . Fixons des voisinages u et u
de
0 dans t
θ,0 (R) vérifiant les conditions suivantes
(1) l’application X → exp(X)η(1 − θ)(T (R)) est un isomorphisme de u
sur un
voisinage de l’image de η dans ˜
T (R)/(1 − θ)(T (R)) ;
(2) u et u
sont ouverts ; la clôture de u est compacte et est contenue dans u
;
(3) pour X ∈ u
, X est régulier dans g η (R) si et seulement si exp(X)η est régulier
dans ˜
G(R).
Remarque. Le groupe Z G (η) agit naturellement sur g η . Une variante de la condition (3) est
(3)
pour X ∈ u
, le stabilisateur de X dans Z G (η) est égal à T
θ si et seulement
si exp(X)η est fortement régulier dans ˜
G(R).
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On note Ξ 1 : Sym(t
θ ) → Sym(t
) l’isomorphisme composé. On prendra garde
que l’isomorphisme Ξ 1 n’est pas en général celui déduit de ξ. Avec les notations cidessus, l’isomorphisme Ξ 1 envoie un élément X ∈ t
θ sur l’élément ξ(X)−−b 1 , ξ(X).
En particulier, Ξ 1 dépend de la décomposition (1).
Considérons d’autres données auxiliaires G
2 , etc. . . et une décomposition
t
2 = c 2 ⊕ t
définie de la même façon que ci-dessus. On se souvient de l’application de transition ˜
λ 1,2 définie en [I] 2.5. On a rappelé en 1.8 l’isomorphisme C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R))
C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (R)). On déduit de ˜
λ 12 une fonction τ 12 sur t
(R) par
τ 12 (X) = ˜
λ 12 (exp(X) 1 , exp(X) 2 )
−1 .
La fonction ˜
λ 12 est C
∞ , il en est donc de même de la fonction τ 12 . Par définition
de ˜
λ 12 , on a l’égalité
τ 12 (X) = Δ 1 (exp(X) 1 , exp(ξ
−1 (X))η)Δ 2 (exp(X) 2 , exp(ξ
−1 (X))η)
−1
si exp(ξ
−1 (X))η est fortement régulier. Il résulte de ce qui précède qu’il existe un
élément b 12 ∈ z(G
)
∗ tel que τ 12 (X) soit le produit d’une constante non nulle avec
la fonction X → e
b12,X (b 12 est la différence entre les projections de b 1 et b 2 dans
z(G
)
∗ ). En particulier, τ 12 prend la même valeur sur des points stablement conjugués. Fixons une mesure de Haar sur T
(R). Pour X régulier, l’application duale
de la précédente envoie l’intégrale orbitale associée à exp(X) 1 et à cette mesure
sur l’intégrale orbitale associée à exp(X) 2 et à cette même mesure, multipliée par
τ 12 (X). Pour H ∈ Sym(t
θ ), notons H 1 = Ξ 1 (H) et H 2 = Ξ 2 (H). Il se déduit de
H 1 et H 2 des opérateurs différentiels ∂ H1 et ∂ H2 sur t
(R). On a l’égalité
∂ H2 = τ
−1
12 ◦ ∂ H1 ◦ τ 12 .
IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
M et η un
élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ . Fixons des voisinages u et u
de
0 dans t
θ,0 (R) vérifiant les conditions suivantes
(1) l’application X → exp(X)η(1 − θ)(T (R)) est un isomorphisme de u
sur un
voisinage de l’image de η dans ˜
T (R)/(1 − θ)(T (R)) ;
(2) u et u
sont ouverts ; la clôture de u est compacte et est contenue dans u
;
(3) pour X ∈ u
, X est régulier dans g η (R) si et seulement si exp(X)η est régulier
dans ˜
G(R).
Remarque. Le groupe Z G (η) agit naturellement sur g η . Une variante de la condition (3) est
(3)
pour X ∈ u
, le stabilisateur de X dans Z G (η) est égal à T
θ si et seulement
si exp(X)η est fortement régulier dans ˜
G(R).