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Chapitre IX. Le cas archimédien
Ainsi qu’on l’a dit en 1.1, on a des isomorphismes
Sym(t
θ ) Sym(t)/I θ,ω = Sym(t) θ,ω Diff( ˜
T (R))
ω -inv .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Supposons donné un diagramme (, B
, T
, B, T, η), où est un élément semi-simple de
˜
G
(R), cf. [I] 1.10. Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
et un point
1 ∈ G
1 (R) au-dessus de . Posons ˜
T
= T
et notons ˜
T
1 l’image réciproque de ˜
T
dans ˜
G
1 . Fixons une décomposition d’algèbres de Lie
(1)
g
1 = c 1 ⊕ g
.
Remarquons que G
1,SC = G
SC donc la section g
SC → g
1 est uniquement déterminée. Choisir une décomposition comme ci-dessus équivaut à choisir une décomposition
z(G
1 ) = c 1 ⊕ z(G
).
Il se déduit de (1) une décomposition
(2)
t
1 = c 1 ⊕ t
.
Le diagramme fournit un isomorphisme
ξ : t
θ
→ t
.
Considérons la fonction
X → Δ 1 (exp(ξ(X)), exp(X)η)
définie presque partout dans un voisinage de 0 dans t
θ (R) (dans le premier terme,
ξ(X) est identifié à un élément de t
1 (R) grâce à la décomposition (2)). Précisément, cette fonction est définie en tout X proche de 0 tel que exp(X)η soit
fortement régulier. Le lemme [I] 2.8 montre qu’elle est localement proportionnelle
à la fonction X → e
b,ξ(X)⊕X , avec les notations de ce lemme. D’après [I] 2.8(1),
b est un élément de z(G
1 )
∗
⊕ (1 − θ)(t
∗ ). Puisque X est fixe par θ, son produit
avec la deuxième composante de b est nul. En notant b 1 la première composante,
on obtient
(3) Δ 1 (exp(ξ(X)), exp(X)η) est le produit de e
b1,ξ(X) et d’une fonction qui
est localement constante sur les éléments X ∈ t
θ (R) proches de 0 et tels que
exp(X)η soit fortement régulier.
Remarquons que, puisque b 1 ∈ z(G
1 )
∗ , on a b 1 , ξ(X) = 0 si ξ(X) ∈ t
sc , en
notant T
sc l’image réciproque de T
dans G
SC .
De (2) se déduit un isomorphisme Sym(t
) → Sym(t
1 ) λ1 . D’après ce que l’on
a dit en 1.8, on a donc des isomorphismes
Sym(t
θ ) Sym(t) θ,ω Diff( ˜
T (R))
ω -inv
Diff( ˜
T
1 (R)) λ1 Sym(t
1 ) λ1 Sym(t
).
Chapitre IX. Le cas archimédien
Ainsi qu’on l’a dit en 1.1, on a des isomorphismes
Sym(t
θ ) Sym(t)/I θ,ω = Sym(t) θ,ω Diff( ˜
T (R))
ω -inv .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Supposons donné un diagramme (, B
, T
, B, T, η), où est un élément semi-simple de
˜
G
(R), cf. [I] 1.10. Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
et un point
1 ∈ G
1 (R) au-dessus de . Posons ˜
T
= T
et notons ˜
T
1 l’image réciproque de ˜
T
dans ˜
G
1 . Fixons une décomposition d’algèbres de Lie
(1)
g
1 = c 1 ⊕ g
.
Remarquons que G
1,SC = G
SC donc la section g
SC → g
1 est uniquement déterminée. Choisir une décomposition comme ci-dessus équivaut à choisir une décomposition
z(G
1 ) = c 1 ⊕ z(G
).
Il se déduit de (1) une décomposition
(2)
t
1 = c 1 ⊕ t
.
Le diagramme fournit un isomorphisme
ξ : t
θ
→ t
.
Considérons la fonction
X → Δ 1 (exp(ξ(X)), exp(X)η)
définie presque partout dans un voisinage de 0 dans t
θ (R) (dans le premier terme,
ξ(X) est identifié à un élément de t
1 (R) grâce à la décomposition (2)). Précisément, cette fonction est définie en tout X proche de 0 tel que exp(X)η soit
fortement régulier. Le lemme [I] 2.8 montre qu’elle est localement proportionnelle
à la fonction X → e
b,ξ(X)⊕X , avec les notations de ce lemme. D’après [I] 2.8(1),
b est un élément de z(G
1 )
∗
⊕ (1 − θ)(t
∗ ). Puisque X est fixe par θ, son produit
avec la deuxième composante de b est nul. En notant b 1 la première composante,
on obtient
(3) Δ 1 (exp(ξ(X)), exp(X)η) est le produit de e
b1,ξ(X) et d’une fonction qui
est localement constante sur les éléments X ∈ t
θ (R) proches de 0 et tels que
exp(X)η soit fortement régulier.
Remarquons que, puisque b 1 ∈ z(G
1 )
∗ , on a b 1 , ξ(X) = 0 si ξ(X) ∈ t
sc , en
notant T
sc l’image réciproque de T
dans G
SC .
De (2) se déduit un isomorphisme Sym(t
) → Sym(t
1 ) λ1 . D’après ce que l’on
a dit en 1.8, on a donc des isomorphismes
Sym(t
θ ) Sym(t) θ,ω Diff( ˜
T (R))
ω -inv
Diff( ˜
T
1 (R)) λ1 Sym(t
1 ) λ1 Sym(t
).