IX.3. Majorations
1019
pour tous i, j ∈ I. Fixons i et j et abandonnons ces indices pour simplifier la
notation. L’égalité précédente se récrit
l∈N m
k=1,...,m
(∂
2
H k
b l )(H) + 2(∂ H k b l−1 k )(H)
∂
l = 0,
avec la convention b l = 0 si une coordonnée de l est stritement négative. Ou encore,
pour tout l ∈ N
m ,
(7)
k=1,...,m
∂
2
H k
b l + 2∂ H k b l−1 k = 0.
Pour tout l, posons S(l) = l 1 + · · · + l m . On peut supposer que les b l ne sont pas
tous nuls, sinon (6) est clair. On note alors N le plus grand entier pour lequel il
existe l avec S(l) = N et b l = 0. On va prouver que, pour tout n = 1, . . . , m et
tout l tel que S(l) ≤ N , on a
(8)
∂
N −ln+1
Hn
b l = 0.
On raisonne par récurrence descendante sur S = S(l) et, cet entier étant fixé, sur
l n ∈ {0, . . . , S}. Soit l ∈ N
m tel que S(l) = S ≤ N . On applique (7) à l + 1 n .
On applique l’opérateur ∂
N −ln
Hn
à l’égalité obtenue. L’élément b l+1n est annulé par
∂
N −ln
Hn
: si S = N , on a simplement b l+1n = 0 et si S < N, c’est l’hypothèse
de récurrence. Donc la première somme disparaît. Pour k = n, il apparaît dans
le deuxième somme le terme ∂
N −ln
Hn
∂ H k b l+1n−1 k . C’est nul si l k = 0. Supposons
l k = 0. Alors l’hypothèse de récurrence pour l n + 1 assure que le terme est nul.
Il reste seulement le terme de la deuxième somme indexé par k = n, qui est
donc nul lui-aussi. Or ce terme est ∂
N −ln+1
Hn
b l . Cela prouve (8). Evidemment, (8)
implique (6).
Pour i, j ∈ I et l ∈ N
m , la fonction γ I → a i,j;l (γ I , z) est rationnelle. Pour γ I
fixé, la fonction H → a i,j,l (exp(H)γ I ; z) est donc rationnelle en exp(H). Or (6)
montre que c’est un polynôme en H. Un résultat élémentaire sur les polynômes exponentiels montre que ces deux propriétés ne sont vérifiées que pour les constantes.
On obtient que γ I → a i,j;l (γ I ) est localement constant. Puisque c’est une fraction
rationnelle, elle est vraiment constante. On utilise maintenant le (ii) de la proposition 1.3, qui se propage lui-aussi aux variantes de nos opérateurs différentiels :
quand γ I tend vers l’infini au sens expliqué en 1.3, a i,j;l (γ I ) tend vers 0. Puisque
c’est une constante, cette constante est nulle. On conclut que A i,j (γ I , z) = 0. C’est
ce qu’il fallait démontrer.
IX.3 Majorations
IX.3.1 Quelques considérations formelles
Soient (G, ˜
G, a) un triplet comme en 1.1, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
G et
η un élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ .
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pour tous i, j ∈ I. Fixons i et j et abandonnons ces indices pour simplifier la
notation. L’égalité précédente se récrit
l∈N m
k=1,...,m
(∂
2
H k
b l )(H) + 2(∂ H k b l−1 k )(H)
∂
l = 0,
avec la convention b l = 0 si une coordonnée de l est stritement négative. Ou encore,
pour tout l ∈ N
m ,
(7)
k=1,...,m
∂
2
H k
b l + 2∂ H k b l−1 k = 0.
Pour tout l, posons S(l) = l 1 + · · · + l m . On peut supposer que les b l ne sont pas
tous nuls, sinon (6) est clair. On note alors N le plus grand entier pour lequel il
existe l avec S(l) = N et b l = 0. On va prouver que, pour tout n = 1, . . . , m et
tout l tel que S(l) ≤ N , on a
(8)
∂
N −ln+1
Hn
b l = 0.
On raisonne par récurrence descendante sur S = S(l) et, cet entier étant fixé, sur
l n ∈ {0, . . . , S}. Soit l ∈ N
m tel que S(l) = S ≤ N . On applique (7) à l + 1 n .
On applique l’opérateur ∂
N −ln
Hn
à l’égalité obtenue. L’élément b l+1n est annulé par
∂
N −ln
Hn
: si S = N , on a simplement b l+1n = 0 et si S < N, c’est l’hypothèse
de récurrence. Donc la première somme disparaît. Pour k = n, il apparaît dans
le deuxième somme le terme ∂
N −ln
Hn
∂ H k b l+1n−1 k . C’est nul si l k = 0. Supposons
l k = 0. Alors l’hypothèse de récurrence pour l n + 1 assure que le terme est nul.
Il reste seulement le terme de la deuxième somme indexé par k = n, qui est
donc nul lui-aussi. Or ce terme est ∂
N −ln+1
Hn
b l . Cela prouve (8). Evidemment, (8)
implique (6).
Pour i, j ∈ I et l ∈ N
m , la fonction γ I → a i,j;l (γ I , z) est rationnelle. Pour γ I
fixé, la fonction H → a i,j,l (exp(H)γ I ; z) est donc rationnelle en exp(H). Or (6)
montre que c’est un polynôme en H. Un résultat élémentaire sur les polynômes exponentiels montre que ces deux propriétés ne sont vérifiées que pour les constantes.
On obtient que γ I → a i,j;l (γ I ) est localement constant. Puisque c’est une fraction
rationnelle, elle est vraiment constante. On utilise maintenant le (ii) de la proposition 1.3, qui se propage lui-aussi aux variantes de nos opérateurs différentiels :
quand γ I tend vers l’infini au sens expliqué en 1.3, a i,j;l (γ I ) tend vers 0. Puisque
c’est une constante, cette constante est nulle. On conclut que A i,j (γ I , z) = 0. C’est
ce qu’il fallait démontrer.
IX.3 Majorations
IX.3.1 Quelques considérations formelles
Soient (G, ˜
G, a) un triplet comme en 1.1, ˜
T un sous-tore tordu maximal de ˜
G et
η un élément de ˜
T (R). On suppose ω trivial sur T (R)
θ .