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Chapitre IX. Le cas archimédien
De même que l’on a défini ˜
T comme l’ensemble des familles γ I = (γ i ) i∈I
telles que γ i ∈ ˜
T i pour tout i et γ i = ˜ ι i,j (γ j ) pour tous i, j, on peut définir les
ensembles T , t et X ∗ (T ). On a une forme quadratique définie positive sur chaque
X ∗ (T i )⊗ Z R. Elles se correspondent par les isomorphismes ι i,j . Donc X ∗ (T )⊗ Z R est
muni d’une telle forme. Cet espace est aussi muni d’un automorphisme θ. Fixons
une base orthonormée {H 1 , . . . , H m } de X ∗ (T )
θ
⊗ Z R. C’est aussi une base sur C de
t
θ (C). On dispose d’un homomorphisme H → ∂ H de t
θ (R) dans Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Par linéarité, il s’étend en un isomorphisme de Sym(t
θ (C)) sur Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Pour l = (l 1 , . . . , l m ) ∈ N
m , on pose
∂
l = ∂
l1
H1 · · · ∂
lm
Hm .
Ainsi, pour i, j ∈ I et γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), on peut écrire de façon unique
(4)
A i,j (γ I , z) =
l∈N m
a i,j;l (γ I )∂
l ,
où les a i,j;l sont des fonctions rationnelles en γ I .
Définissons l’opérateur
∇ = ∂
2
H1 + · · · + ∂
2
Hm .
Introduisons le Casimir Ω. Il résulte de 1.7(1) que l’on peut choisir Ω ∈ Ω +
Sym(z(G)) tel que ∂ Ω T = ∇. Les propositions 1.7 et 2.4 impliquent que A(Ω) = 0.
Pour z
= Ω, la relation (3) se simplifie en
(5)
A(z) diag(∇) = diag(∇)A(z).
Fixons γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). Pour H ∈ t
θ (R), on définit l’élément exp(H) ∈ T (R). Si
H est assez voisin de 0, le produit exp(H)γ I appartient encore à ˜
T ˜
G -reg (R). Pour
i, j ∈ I et l ∈ N
m , posons simplement b i,j;l (H) = a i,j;l (exp(H)γ I ). Alors
A i,j (exp(H)γ I , z) =
l∈N m
b i,j;l (H)∂
l .
Montrons que
(6) pour tous i, j ∈ I et l ∈ N
m , b i,j;l (H) est un polynôme en H.
Tout élément H ∈ t
θ (C) agit sur les fonctions définies sur t
θ (R) par l’opérateur de dérivation usuel ∂ H . Pour k = 1, . . . , m, notons 1 k l’élément de N
m dont
toutes les coordonnées sont nulles, sauf la k-ième qui vaut 1. Les règles usuelles
de dérivation montrent que l’égalité (5) évaluée au point exp(H)γ I équivaut aux
égalités
l∈N m
k=1,...,m
(∂
2
H k b i,j;l )(H)∂
l + 2
l∈N m
k=1,...,m
(∂ H k b i,j;l )(H)∂
l+1 k = 0,
Chapitre IX. Le cas archimédien
De même que l’on a défini ˜
T comme l’ensemble des familles γ I = (γ i ) i∈I
telles que γ i ∈ ˜
T i pour tout i et γ i = ˜ ι i,j (γ j ) pour tous i, j, on peut définir les
ensembles T , t et X ∗ (T ). On a une forme quadratique définie positive sur chaque
X ∗ (T i )⊗ Z R. Elles se correspondent par les isomorphismes ι i,j . Donc X ∗ (T )⊗ Z R est
muni d’une telle forme. Cet espace est aussi muni d’un automorphisme θ. Fixons
une base orthonormée {H 1 , . . . , H m } de X ∗ (T )
θ
⊗ Z R. C’est aussi une base sur C de
t
θ (C). On dispose d’un homomorphisme H → ∂ H de t
θ (R) dans Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Par linéarité, il s’étend en un isomorphisme de Sym(t
θ (C)) sur Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Pour l = (l 1 , . . . , l m ) ∈ N
m , on pose
∂
l = ∂
l1
H1 · · · ∂
lm
Hm .
Ainsi, pour i, j ∈ I et γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), on peut écrire de façon unique
(4)
A i,j (γ I , z) =
l∈N m
a i,j;l (γ I )∂
l ,
où les a i,j;l sont des fonctions rationnelles en γ I .
Définissons l’opérateur
∇ = ∂
2
H1 + · · · + ∂
2
Hm .
Introduisons le Casimir Ω. Il résulte de 1.7(1) que l’on peut choisir Ω ∈ Ω +
Sym(z(G)) tel que ∂ Ω T = ∇. Les propositions 1.7 et 2.4 impliquent que A(Ω) = 0.
Pour z
= Ω, la relation (3) se simplifie en
(5)
A(z) diag(∇) = diag(∇)A(z).
Fixons γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). Pour H ∈ t
θ (R), on définit l’élément exp(H) ∈ T (R). Si
H est assez voisin de 0, le produit exp(H)γ I appartient encore à ˜
T ˜
G -reg (R). Pour
i, j ∈ I et l ∈ N
m , posons simplement b i,j;l (H) = a i,j;l (exp(H)γ I ). Alors
A i,j (exp(H)γ I , z) =
l∈N m
b i,j;l (H)∂
l .
Montrons que
(6) pour tous i, j ∈ I et l ∈ N
m , b i,j;l (H) est un polynôme en H.
Tout élément H ∈ t
θ (C) agit sur les fonctions définies sur t
θ (R) par l’opérateur de dérivation usuel ∂ H . Pour k = 1, . . . , m, notons 1 k l’élément de N
m dont
toutes les coordonnées sont nulles, sauf la k-ième qui vaut 1. Les règles usuelles
de dérivation montrent que l’égalité (5) évaluée au point exp(H)γ I équivaut aux
égalités
l∈N m
k=1,...,m
(∂
2
H k b i,j;l )(H)∂
l + 2
l∈N m
k=1,...,m
(∂ H k b i,j;l )(H)∂
l+1 k = 0,