IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
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IX.2.5 Le résultat de stabilisation
Les hypothèses et notations sont comme en 2.3. Soit z ∈ Z(G).
D’après 1.6(4), les différents opérateurs δ
˜
Gi
˜
Mi
(z) s’identifient tous à un même
élément de Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
On note δ
K ˜
G
K ˜
M
(z) l’élément diagonal de Mat I (Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv ) dont les
coefficients diagonaux sont tous égaux à cet élément.
Proposition. Pour tout z ∈ Z(G), on a l’égalité
δ
K ˜
G,E
K ˜
M
(z) = δ
K ˜
G
K ˜
M
(z).
Preuve. C’est clair si K ˜
M = K ˜
G. On suppose K ˜
M = K ˜
G. Soient z, z
∈ Z(G).
La relation 1.2(3) donne
(1)
δ
K ˜
G
K ˜
M
(zz
) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
δ
K ˜
L
K ˜
M
(z L )δ
K ˜
G
K ˜
L
(z
).
Il s’agit ici de produits de matrices d’opérateurs différentiels. Une même preuve
s’applique aux opérateurs endoscopiques et donne la relation similaire :
(2)
δ
K ˜
G,E
K ˜
M
(zz
) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
δ
K ˜
L,E
K ˜
M
(z L )δ
K ˜
G,E
K ˜
L
(z
).
On raisonne par récurrence sur dim(G SC ), mais aussi par récurrence sur a ˜
M − a ˜
G .
On peut donc supposer que l’égalité de l’énoncé est vérifiée si l’on remplace ˜
G par
˜
L avec ˜
L = ˜
G et aussi si l’on remplace ˜
M par ˜
L pour ˜
L = ˜
M . Alors les termes
des deux membres de droite ci-dessus indexés par des ˜
L différents de ˜
M et ˜
G sont
égaux. D’autre part, d’après 1.2(2) et 2.4(1), on a
δ
K ˜
G
K ˜
G
(z
) = δ
K ˜
G,E
K ˜
G
(z
) = diag(∂ z
T
),
δ
K ˜
M
K ˜
M
(z M ) = δ
K ˜
M,E
K ˜
M
(z M ) = diag(∂ zT ).
Pour D ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv , on a ici identifié D à la fonction constante sur
˜
T ˜
G -reg (R) de valeur D, et on a noté diag(D) la matrice diagonale de coefficients
diagonaux tous égaux à D. Posons
A(z) = δ
K ˜
G,E
K ˜
M
(z) − δ
K ˜
G
K ˜
M
(z).
Par différence de (2) et (1), on obtient
A(zz
) = diag(∂ zT )A(z
) + A(z) diag(∂ z
T
).
Puisque le membre de gauche est symétrique en z et z
, on obtient
(3)
diag(∂ zT )A(z
) + A(z) diag(∂ zT ) = diag(∂ z
T
)A(z) + A(z
) diag(∂ zT ).