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Chapitre IX. Le cas archimédien
on fixe un certain i ∈ I, on identifie C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I ) à C
˜
Gi
˜
Mi
(γ i ) et on abandonne l’indice
i. Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , que l’on écrit ˜
s = s ˆ
θ. D’après [48] 1.3, repris en
[I] 1.6, les éléments de Σ
G
(˜ s) (T
) − Σ
M
(T
) sont les
– N α pour α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 1 tel que N ˆ
α(s) = 1 ;
– 2N α pour α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 2 tel que N ˆ
α(s) = 1 ;
– N α pour α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 3 tel que N ˆ
α(s) = −1.
Fixons comme toujours une paire de Borel épinglée de ˆ
G pour laquelle ˆ
M est
standard et dont on note le tore ˆ
T . Dualement, la racine de ˆ
G(˜ s) correspondant
à N α, pour α de type 1 ou 3, ou à 2N α pour α de type 2, est la restriction de
ˆ
α à ˆ
T
ˆ
θ,0 .
On se rappelle que, d’une racine α de type 2, se déduit une racine β =
α + θ
nα/2 (α) de type 3. On peut choisir l’ensemble Σ
G (T ) θ de sorte que, de cette
correspondance, se déduise une bijection entre les éléments de Σ
G (T ) θ de type 2 et
les éléments de Σ
G (T ) θ de type 3. On a β ∈ Σ
M (T ) si et seulement si α ∈ Σ
M (T ).
On peut donc supposer que la bijection ci-dessus se restreint en une bijection entre
les éléments de Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 2 et ceux de type 3.
Ainsi, X(δ) comme C
˜
G
˜
M
(γ) apparaissent comme des sommes sur les α ∈
Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ . On va prouver
(3) pour α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 1, les termes indexés par α dans X(δ)
et dans C
˜
G
˜
M
(γ) sont égaux ;
(4) soit α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 2 ; soit β ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ l’élément
de type 3 correspondant ; alors la somme des termes indexés par α et β dans
X(δ) est égale à la somme des termes indexés par α et β dans C
˜
G
˜
M
(γ).
Soit α ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ de type 1. En utilisant les définitions de 1.7 et
2.2, prouver (3) se ramène à prouver l’égalité
−|N α |A ˜
M
|n α (1 − (α)(γ))
−1 (1 − (α)(γ)
−1 )
−1 = −
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,N α∈Σ
˜
G (˜ s)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))|N α |A ˜
M
|k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α)
−1 (1 − N α(δ))
−1 (1 − N α(δ)
−1 )
−1 .
Puisque A ˜
M = A ˜
M , les termes |N α |A ˜
M
| et |N α |A ˜
M
| sont égaux. De même, il
résulte des définitions que 1 − (α)(γ)
±1 = 1 − N α(δ)
±1 . L’égalité à prouver se
simplifie en
(5)
n α =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ ,N α∈Σ
˜
G (˜ s)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α)
−1 .
Posons ˆ
T = (Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )/(Z( ˆ
G)
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ). Remarquons que les homomorphismes de la suite suivante
Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0 /(Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0
∩ Z( ˆ
G)) → ˆ
T → Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ