IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1013
La formule devient
δ
K ˜
G,E
K ˜
G,i,k
(γ I , z) = ∂ zT |I|
−1
j∈I
κ j (i, k).
Il est sous-jacent aux formules d’inversion de [I] 4.9 que la correspondance entre
les γ i et les δ i est essentiellement une transformation de Fourier entre un groupe
abélien fini et son dual, de sorte que la somme en j ci-dessus vaut |I| si i = k
et 0 sinon. Cette propriété est largement développée dans [53] et [48] et on ne la
détaillera pas. Elle entraîne la conclusion (1).
Posons d = a ˜
M − a ˜
G , supposons d ≥ 1. Pour tout i ∈ I, on a défini en 1.7
une fonction C
˜
Gi
˜
Mi
sur ˜
T i, ˜
G -reg (C). Ces fonctions s’identifient par les isomorphismes
˜ ι i,j . On en déduit une fonction C
K ˜
G
K ˜
M
sur ˜
T ˜
G -reg (C). Soit Ω l’opérateur de Casimir.
Proposition. Pour d ≥ 1, la matrice δ
K ˜
G
K ˜
M
(γ I , Ω) est diagonale. Ses coefficients
diagonaux sont tous égaux à la multiplication par C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I ).
Preuve. On va plus généralement prouver que ces propriétés sont vérifiées si l’on
remplace Ω par un élément Ω ∈ Ω+Sym(z(G)). On considère la formule 2.3(6). Les
mêmes considérations formelles que dans la preuve de la proposition 2.2 montre
que, pour j et ˜
s j intervenant dans cette formule, l’opérateur Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , Ω
G
j (˜ sj ) )
est la multiplication par la fonction SC
˜
G
j (˜ sj )
˜
M
j
(δ j ).
Ainsi, pour i, k ∈ I, δ
K ˜
G
K ˜
M,i,k
(γ I , Ω) est la multiplication par la fonction
|I|
−1
j∈I
κ j (i, k)X j (δ j ),
où
X j (δ j ) =
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))SC
˜
G
j (˜ sj )
˜
M
j
(δ j ).
On va prouver
(2) on a X j (δ j ) = C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I ) pour tout j ∈ I.
En admettant cela, on obtient que δ
K ˜
G
K ˜
M,i,k
(γ I , Ω) est la multiplication par la
fonction
C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I )|I|
−1
j∈I
κ j (i, k).
La proposition s’en déduit par le même argument d’inversion utilisé dans la preuve
de (1).
Prouvons (2). Cette égalité est évidente si d ≥ 2 car alors tout est nul. On
suppose d = 1. Pour simplifier, on fixe j et on abandonne les indices j. De même,
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La formule devient
δ
K ˜
G,E
K ˜
G,i,k
(γ I , z) = ∂ zT |I|
−1
j∈I
κ j (i, k).
Il est sous-jacent aux formules d’inversion de [I] 4.9 que la correspondance entre
les γ i et les δ i est essentiellement une transformation de Fourier entre un groupe
abélien fini et son dual, de sorte que la somme en j ci-dessus vaut |I| si i = k
et 0 sinon. Cette propriété est largement développée dans [53] et [48] et on ne la
détaillera pas. Elle entraîne la conclusion (1).
Posons d = a ˜
M − a ˜
G , supposons d ≥ 1. Pour tout i ∈ I, on a défini en 1.7
une fonction C
˜
Gi
˜
Mi
sur ˜
T i, ˜
G -reg (C). Ces fonctions s’identifient par les isomorphismes
˜ ι i,j . On en déduit une fonction C
K ˜
G
K ˜
M
sur ˜
T ˜
G -reg (C). Soit Ω l’opérateur de Casimir.
Proposition. Pour d ≥ 1, la matrice δ
K ˜
G
K ˜
M
(γ I , Ω) est diagonale. Ses coefficients
diagonaux sont tous égaux à la multiplication par C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I ).
Preuve. On va plus généralement prouver que ces propriétés sont vérifiées si l’on
remplace Ω par un élément Ω ∈ Ω+Sym(z(G)). On considère la formule 2.3(6). Les
mêmes considérations formelles que dans la preuve de la proposition 2.2 montre
que, pour j et ˜
s j intervenant dans cette formule, l’opérateur Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , Ω
G
j (˜ sj ) )
est la multiplication par la fonction SC
˜
G
j (˜ sj )
˜
M
j
(δ j ).
Ainsi, pour i, k ∈ I, δ
K ˜
G
K ˜
M,i,k
(γ I , Ω) est la multiplication par la fonction
|I|
−1
j∈I
κ j (i, k)X j (δ j ),
où
X j (δ j ) =
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))SC
˜
G
j (˜ sj )
˜
M
j
(δ j ).
On va prouver
(2) on a X j (δ j ) = C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I ) pour tout j ∈ I.
En admettant cela, on obtient que δ
K ˜
G
K ˜
M,i,k
(γ I , Ω) est la multiplication par la
fonction
C
K ˜
G
K ˜
M
(γ I )|I|
−1
j∈I
κ j (i, k).
La proposition s’en déduit par le même argument d’inversion utilisé dans la preuve
de (1).
Prouvons (2). Cette égalité est évidente si d ≥ 2 car alors tout est nul. On
suppose d = 1. Pour simplifier, on fixe j et on abandonne les indices j. De même,