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Chapitre IX. Le cas archimédien
on obtient
(5)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
k∈I
|I|
−1
j∈I
κ j (i, k)
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
Définissons maintenant les opérateurs de l’énoncé par
(6)
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ k , z) = |I|
−1
j∈I
κ j (i, k)
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , z
G
j (˜ sj ) ).
Alors la formule (5) devient celle de l’énoncé.
Le tore tordu ˜
T
(C) s’identifie à ˜
T (C)/(1−θ)(T (C)) (c’est-à-dire à ˜
T k (C)/(1−
θ)(T k (C)) pour tout k). Les fonctions δ j → Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , z
G
j (˜ sj ) ) s’étendent en des
fonctions rationnelles sur ce tore. Chacune est régulière sur un sous-ensemble qui
dépend de j : l’ensemble des points ˜
G
j -réguliers. Mais cet ensemble contient l’ensemble commun des points qui sont ˜
G-réguliers. Il en résulte que la fonction γ k →
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ k , z) s’étend en une fonction rationnelle régulières sur ˜
T k, ˜
G k -reg (C)/(1 −
θ)(T k (C)). Cela achève la preuve.
IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques
Il résulte de la définition 2.3(6) et de ce que l’on a dit en 2.2 que les opérateurs
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ I , z) vérifient des propriétés analogues à celles de la proposition 1.3.
Les différents homomorphismes Z(G) → Z(T i ) → Sym(t i ) θ,ω , pour i ∈
I, coïncident modulo les identifications de Sym(t i ) θ,ω à une algèbre commune
Sym(t) θ,ω . Pour z ∈ Z(G), on note z T l’image de z dans cette algèbre.
On a
(1) si K ˜
M = K ˜
G, la matrice δ
K ˜
G
K ˜
G
(γ I , z) est diagonale, de termes diagonaux tous
égaux à ∂ zT .
En effet, la définition 2.3(6) se simplifie en
δ
K ˜
G,E
K ˜
G,i,k
(γ I , z) = |I|
−1
j∈I
κ j (i, k)S
G
j (δ j , z
G
j ).
D’après 2.2(1), l’opérateur S
G
j (δ j , z
G
j ) est simplement ∂
z
G
j
, où on identifie z
G
j
à son image naturelle dans Sym(t
j,1 ) λj,1 (avec les notations de la preuve précédente). Modulo l’identification Sym(t
j,1 ) λj,1 Sym(t) θ,ω , ce n’est autre que ∂ zT .
Chapitre IX. Le cas archimédien
on obtient
(5)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
k∈I
|I|
−1
j∈I
κ j (i, k)
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
Définissons maintenant les opérateurs de l’énoncé par
(6)
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ k , z) = |I|
−1
j∈I
κ j (i, k)
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , z
G
j (˜ sj ) ).
Alors la formule (5) devient celle de l’énoncé.
Le tore tordu ˜
T
(C) s’identifie à ˜
T (C)/(1−θ)(T (C)) (c’est-à-dire à ˜
T k (C)/(1−
θ)(T k (C)) pour tout k). Les fonctions δ j → Sδ
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j , z
G
j (˜ sj ) ) s’étendent en des
fonctions rationnelles sur ce tore. Chacune est régulière sur un sous-ensemble qui
dépend de j : l’ensemble des points ˜
G
j -réguliers. Mais cet ensemble contient l’ensemble commun des points qui sont ˜
G-réguliers. Il en résulte que la fonction γ k →
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ k , z) s’étend en une fonction rationnelle régulières sur ˜
T k, ˜
G k -reg (C)/(1 −
θ)(T k (C)). Cela achève la preuve.
IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques
Il résulte de la définition 2.3(6) et de ce que l’on a dit en 2.2 que les opérateurs
δ
K ˜
G,E
K ˜
M,i,k
(γ I , z) vérifient des propriétés analogues à celles de la proposition 1.3.
Les différents homomorphismes Z(G) → Z(T i ) → Sym(t i ) θ,ω , pour i ∈
I, coïncident modulo les identifications de Sym(t i ) θ,ω à une algèbre commune
Sym(t) θ,ω . Pour z ∈ Z(G), on note z T l’image de z dans cette algèbre.
On a
(1) si K ˜
M = K ˜
G, la matrice δ
K ˜
G
K ˜
G
(γ I , z) est diagonale, de termes diagonaux tous
égaux à ∂ zT .
En effet, la définition 2.3(6) se simplifie en
δ
K ˜
G,E
K ˜
G,i,k
(γ I , z) = |I|
−1
j∈I
κ j (i, k)S
G
j (δ j , z
G
j ).
D’après 2.2(1), l’opérateur S
G
j (δ j , z
G
j ) est simplement ∂
z
G
j
, où on identifie z
G
j
à son image naturelle dans Sym(t
j,1 ) λj,1 (avec les notations de la preuve précédente). Modulo l’identification Sym(t
j,1 ) λj,1 Sym(t) θ,ω , ce n’est autre que ∂ zT .