IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1011
Pour j, k ∈ I, l’algèbre Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 s’identifie à Diff( ˜
T k (R))
ω -inv , cf.
1.8. L’identification a été faite de sorte que la propriété suivante soit vérifiée.
Fixons γ k ∈ ˜
T k, ˜
G k,reg
(R) et δ j,1 ∈ ˜
T
j,1 (R) dont la projection dans ˜
T
j (R) soit
˜
ξ j,k (γ k ). Soit ϕ une fonction sur ˜
T k (R) telle que ϕ(x
−1 γ
k x) = ω(x)
−1 ϕ(γ
k ) pour
tous x ∈ T k (R) et γ
k ∈ ˜
T k (R). On en déduit une fonction ϕ
sur un voisinage de
δ j,1 dans ˜
T
j,1 (R) par la formule ϕ
(δ
1 ) = Δ j,1 (δ
1 , γ
)ϕ(γ
k ) où γ
k est un élément
de ˜
T k (R) proche de γ k tel que ˜
ξ j,k (γ
k ) est égal à la projection de δ
1 dans ˜
T
j (R).
Soit D
∈ Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 et notons D l’élément de Diff
cst ( ˜
T k (R))
ω -inv auquel
il s’identifie. Alors on a l’égalité (D
ϕ
)(δ j,1 ) = (Dϕ)
(δ j,1 ). En composant les
isomorphismes
Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 Diff
cst ( ˜
T k (R))
ω -inv
Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv ,
on obtient un isomorphisme qui ne dépend pas de k : cela résulte de la propriété
ci-dessus et de (4). Désormais, on identifie Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 à Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Revenons à l’expression (3). On reconnaît la dernière somme en ˜
t j : c’est
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(L
j (˜ s j ), δ j,1 , f),
ou encore
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(transfert(δ j,1 ), ω, f).
La formule (1) décrit le transfert de δ j,1 . On obtient
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )c
k∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ k )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En utilisant la description ci-dessus de l’isomorphisme
Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv ,
on transforme cette expression en
c
k∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ k )Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En reportant cela dans la formule (3), on obtient
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
k∈I
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k )
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En posant grâce à (4)
κ j (i, k) = Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k ),
1011
Pour j, k ∈ I, l’algèbre Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 s’identifie à Diff( ˜
T k (R))
ω -inv , cf.
1.8. L’identification a été faite de sorte que la propriété suivante soit vérifiée.
Fixons γ k ∈ ˜
T k, ˜
G k,reg
(R) et δ j,1 ∈ ˜
T
j,1 (R) dont la projection dans ˜
T
j (R) soit
˜
ξ j,k (γ k ). Soit ϕ une fonction sur ˜
T k (R) telle que ϕ(x
−1 γ
k x) = ω(x)
−1 ϕ(γ
k ) pour
tous x ∈ T k (R) et γ
k ∈ ˜
T k (R). On en déduit une fonction ϕ
sur un voisinage de
δ j,1 dans ˜
T
j,1 (R) par la formule ϕ
(δ
1 ) = Δ j,1 (δ
1 , γ
)ϕ(γ
k ) où γ
k est un élément
de ˜
T k (R) proche de γ k tel que ˜
ξ j,k (γ
k ) est égal à la projection de δ
1 dans ˜
T
j (R).
Soit D
∈ Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 et notons D l’élément de Diff
cst ( ˜
T k (R))
ω -inv auquel
il s’identifie. Alors on a l’égalité (D
ϕ
)(δ j,1 ) = (Dϕ)
(δ j,1 ). En composant les
isomorphismes
Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 Diff
cst ( ˜
T k (R))
ω -inv
Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv ,
on obtient un isomorphisme qui ne dépend pas de k : cela résulte de la propriété
ci-dessus et de (4). Désormais, on identifie Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 à Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Revenons à l’expression (3). On reconnaît la dernière somme en ˜
t j : c’est
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(L
j (˜ s j ), δ j,1 , f),
ou encore
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(transfert(δ j,1 ), ω, f).
La formule (1) décrit le transfert de δ j,1 . On obtient
Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )c
k∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ k )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En utilisant la description ci-dessus de l’isomorphisme
Diff
cst ( ˜
T
j,1 (R)) λj,1 Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv ,
on transforme cette expression en
c
k∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ k )Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En reportant cela dans la formule (3), on obtient
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
k∈I
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k )
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ k , ω, f).
En posant grâce à (4)
κ j (i, k) = Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k ),