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Chapitre IX. Le cas archimédien
On a passé quelques considérations formelles similaires à celles développées en 1.8
et qu’on laisse au lecteur. On décompose la somme en ˜
s j en une double somme sur
˜
s j ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
tel que L
j (˜ s j ) soit elliptique et ˜
t j ∈ ˜
s j Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Comme en [II] 2.6, on
a l’égalité
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j ( ˜
t j )) = i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))i ˜
L
j (˜ sj ) ( ˜
G, ˜
G
j ( ˜
t j ))
et la non-nullité de ce dernier terme implique l’ellipticité de L
j (˜ s j ). D’où
(3)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf)
=
K ˜
L∈L(K ˜
M)
c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
L, ˜
L
j (˜ s j ))
˜
tj ∈˜ sj Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
L
j (˜ sj ) ( ˜
G, ˜
G
j ( ˜
t j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )S
G
j ( ˜
tj )
L
j (˜ sj ) (δ j,1 , f
G
j ( ˜
tj ) ).
Pour exploiter cette formule, on a besoin de quelques préliminaires. On a
(4) pour i, j, k ∈ I, le terme Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k ) ne dépend ni de γ I , ni
de δ j,1 mais seulement de i, j, k.
Remarquons que
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 Δ j,1 (δ j,1 , γ k ) = Δ j,1 (δ j,1 , γ k ; δ j,1 , γ i ).
Fixons x k ∈ M k tel que ˜ ι i,k = φ i,k ◦ ad(x k ). Décomposons x k en x k = π(x k,sc )z k ,
où z k ∈ Z(M k ) et x k,sc ∈ M k,SC . On note T k,sc l’image réciproque de T k dans
M k,SC et ˆ
T k,ad l’image de ˆ
T k dans ˆ
M AD . Pour σ ∈ Γ R , posons
V k,i (σ) = x
−1
k,sc ∇ k,i (σ)σ(x k,sc ),
cf. [I] 1.11 pour la définition de ∇ k,i . On vérifie que V k,i est un cocycle à valeurs
dans T k,sc . Le couple (V k,i , (1 − θ)(z k )
−1 ) définit un élément de H
1,0 (Γ R ; T k,sc
1−θ
→
(1 − θ)(T k )). Le cocycle t T k défini en [I] 2.2 se pousse en un cocycle de W R
dans ˆ
T k / ˆ
T
ˆ
θ,0
k . Rappelons que M
k = (M
k , M
k , ˜
ζ k ) et que l’on suppose implicitement que ˜
ζ k = ζ k ˆ
θ, avec ζ k ∈ ˆ
T k . Le couple (t T k , ζ k ) définit un élément de
H
1,0 (W R ; ˆ
T k / ˆ
T
ˆ
θ,0
k
1− ˆ
θ
→ ˆ
T k,ad ). En dévissant les définitions de [I] 2.2, on vérifie que
Δ j,1 (δ j,1 , γ k ; δ j,1 , γ i ) =
(V k,i , (1 − θ)(z k )
−1 ), (t T k , ζ k )
,
le produit étant celui sur
H
1,0 (Γ R ; T k,sc
1−θ
→ (1 − θ)(T k )) × H
1,0 (W R ; ˆ
T k / ˆ
T
ˆ
θ,0
k
1− ˆ
θ
→ ˆ
T k,ad ).
Cela prouve (4).