IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1009
élément au-dessus de ˜
ξ(γ I ). On a pour tout i ∈ I les formules d’inversion
(1)
S
˜
R
i,1 (δ i,1 , ϕ
˜
R
i,1 ) = c
j∈I
Δ i,1 (δ i,1 , γ j )I
˜
Rj (γ j , ω, ϕ j ),
(2)
I
˜
Ri (γ i , ω, ϕ i ) = c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 S
˜
R
j,1 (δ j,1 , ϕ
˜
R
j,1 ),
où c est une constante non nulle. Pour tout i, réalisons la donnée endoscopique
R
i de K ˜
R comme une «donnée de Levi» d’une donnée endoscopique elliptique
M
i = (M
i , M
i , ˜
ζ i ) de K ˜
M et supposons que les données auxiliaires ci-dessus sont
les restrictions de données auxiliaires pour les M
i . Alors, par simple induction, on
peut remplacer les R par des M dans les formules d’inversion ci-dessus. Désormais,
on oublie le K-espace K ˜
R qui ne nous a servi qu’à appliquer les considérations de
[I] 4.9.
Soient γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I ∈ ˜
T
1 (R) un élément audessus de ˜
ξ(γ I ). Pour tout i ∈ I, on peut identifier comme en 2.1 l’élement δ i,1
à un élément de D
st
g´ eom,λi,1 ( ˜
M
i,1 (R)), à savoir l’intégrale orbitale stable associée à
δ i,1 . On l’identifie ensuite à un élément de D
st
g´ eom (M
i ). La formule (2) ci-dessus
(avec R remplacé par M ) signifie que l’intégrale orbitale dans ˜
M i associée à γ i est
égale à c
−1
|I|
−1
j∈I Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 transfert(δ j,1 ). Par définition, on a alors
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, f) = c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j,1 , f
M
j ).
= c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))S
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j,1 , f
G
j (˜ sj ) ).
Remplaçons f par zf et appliquons la proposition 2.1 à chaque terme
S
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j,1 , (zf )
G
j (˜ sj ) ).
Ce terme se développe en une somme sur des espaces de Levi ˜
L
j,˜ sj ∈ L
˜
G
j (˜ s j )( ˜
M
j ).
Comme toujours, aux données j, ˜
s j et ˜
L
j,˜ sj est associé un K-espace de Levi K ˜
L ∈
L(K ˜
M ). Le Levi ˜
L
j,˜ sj s’identifie à l’espace ˜
L
j (˜ s j ) de la donnée endoscopique
L
j (˜ s j ) de (KL, K ˜
L, a L ) déduite de M
j et ˜
s j . En regroupant les termes selon le
K-espace K ˜
L, on obtient
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,
L
j (˜ sj ) elliptique
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )S
G
j (˜ sj )
L
j (˜ sj (δ j,1 , f
G
j (˜ sj ) ).
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élément au-dessus de ˜
ξ(γ I ). On a pour tout i ∈ I les formules d’inversion
(1)
S
˜
R
i,1 (δ i,1 , ϕ
˜
R
i,1 ) = c
j∈I
Δ i,1 (δ i,1 , γ j )I
˜
Rj (γ j , ω, ϕ j ),
(2)
I
˜
Ri (γ i , ω, ϕ i ) = c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 S
˜
R
j,1 (δ j,1 , ϕ
˜
R
j,1 ),
où c est une constante non nulle. Pour tout i, réalisons la donnée endoscopique
R
i de K ˜
R comme une «donnée de Levi» d’une donnée endoscopique elliptique
M
i = (M
i , M
i , ˜
ζ i ) de K ˜
M et supposons que les données auxiliaires ci-dessus sont
les restrictions de données auxiliaires pour les M
i . Alors, par simple induction, on
peut remplacer les R par des M dans les formules d’inversion ci-dessus. Désormais,
on oublie le K-espace K ˜
R qui ne nous a servi qu’à appliquer les considérations de
[I] 4.9.
Soient γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I ∈ ˜
T
1 (R) un élément audessus de ˜
ξ(γ I ). Pour tout i ∈ I, on peut identifier comme en 2.1 l’élement δ i,1
à un élément de D
st
g´ eom,λi,1 ( ˜
M
i,1 (R)), à savoir l’intégrale orbitale stable associée à
δ i,1 . On l’identifie ensuite à un élément de D
st
g´ eom (M
i ). La formule (2) ci-dessus
(avec R remplacé par M ) signifie que l’intégrale orbitale dans ˜
M i associée à γ i est
égale à c
−1
|I|
−1
j∈I Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 transfert(δ j,1 ). Par définition, on a alors
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, f) = c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1 I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j,1 , f
M
j ).
= c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))S
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j,1 , f
G
j (˜ sj ) ).
Remplaçons f par zf et appliquons la proposition 2.1 à chaque terme
S
G
j (˜ sj )
M
j
(δ j,1 , (zf )
G
j (˜ sj ) ).
Ce terme se développe en une somme sur des espaces de Levi ˜
L
j,˜ sj ∈ L
˜
G
j (˜ s j )( ˜
M
j ).
Comme toujours, aux données j, ˜
s j et ˜
L
j,˜ sj est associé un K-espace de Levi K ˜
L ∈
L(K ˜
M ). Le Levi ˜
L
j,˜ sj s’identifie à l’espace ˜
L
j (˜ s j ) de la donnée endoscopique
L
j (˜ s j ) de (KL, K ˜
L, a L ) déduite de M
j et ˜
s j . En regroupant les termes selon le
K-espace K ˜
L, on obtient
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
c
−1
|I|
−1
j∈I
Δ j,1 (δ j,1 , γ i )
−1
˜
sj ∈ ˜
ζj Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,
L
j (˜ sj ) elliptique
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
j (˜ s j ))Sδ
L
j (˜ sj )
M
j
(δ j , (z L )
L
j (˜ sj ) )S
G
j (˜ sj )
L
j (˜ sj (δ j,1 , f
G
j (˜ sj ) ).