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Chapitre IX. Le cas archimédien
les mesures sur G p (R) et G q (R) se correspondent via le torseur intérieur φ p,q .
De même pour les mesures sur les M p (R). On suppose aussi que, pour i, j ∈ I,
l’isomorphisme ι i,j transporte la mesure sur T j (R) en celle sur T i (R).
Soient γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)). Pour i ∈ I, on définit
l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, f) comme
en [V] 1.8.
A partir de maintenant, on va utiliser les hypothèses de récurrence telles
qu’on les a posées en [V] 1.1.
Proposition. Il existe une unique application linéaire
Z(G) → Mat I (Diff
reg ( ˜
T ˜
G−reg (R))
ω -inv )
z
→ δ
K ˜
G,E
K ˜
M
(z) = (δ
K ˜
G,E
K ˜
M ;i,j
(z)) i,j∈I
qui vérifie la propriétés suivante :
– pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), tout γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), tout z ∈ Z(G) et tout i ∈ I,
on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
j∈I
δ
K ˜
L,E
K ˜
M ;i,j
(γ j , z L )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ j , ω, f).
Preuve. On peut s’autoriser à conjuguer chaque ˜
T i par un élément de M p(i) (R).
On peut donc supposer qu’il existe un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) contenu
dans K ˜
M tel que, pour tout i, ˜
T i soit un sous-tore tordu maximal elliptique de
˜
R p(i) . Pour simplifier, on note simplement ˜
R i = ˜
R p(i) , ˜
M i = ˜
M p(i) , ˜
G i = ˜
G p(i) . En
appliquant la description de [I] 4.9, on voit que l’on peut fixer des familles (R
i ) i∈I
et ( ˜
T
i ) i∈I vérifiant les conditions qui suivent. Pour tout i ∈ I, R
i est une donnée
endoscopique elliptique et relevante de (KR, K ˜
R, a R ) et ˜
T
i est un sous-tore tordu
maximal de ˜
R
i . Pour tous i, j ∈ I, il y a un homomorphisme ξ i,j : T j → T
i
et une application compatible ˜
ξ i,j : ˜
T j → ˜
T
i , tous deux définis sur R, qui se
quotientent en des isomorphismes T j /(1 − θ)(T j ) T
i et ˜
T j /(1 − θ)(T j ) ˜
T
i (on
note uniformément θ les automorphismes bien qu’ils dépendent évidemment du
tore en question). On a ˜
ξ i,j ◦ ˜ ι j,k = ˜
ξ i,k pour tous i, j, k ∈ I. Pour un élément
γ j ∈ ˜
T j (R) fortement régulier dans ˜
R i , la classe de conjugaison stable de ˜
ξ i,j (γ j )
dans ˜
R
i (R) correspond à celle γ j dans ˜
R j (R). Notons ˜
T
l’ensemble des δ I = (δ i ) i∈I
tels que δ i ∈ ˜
T
i pour tout i et il existe γ I ∈ ˜
T de sorte que δ i = ˜
ξ i,j (γ j ) pour
tous i, j ∈ I. Des applications ˜
ξ i,j se déduit une application surjective ˜
ξ : ˜
T → ˜
T
.
Pour tout i ∈ I, fixons des données auxiliaires R
i,1 , . . . , Δ i,1 pour R
i . Notons
˜
T
1 l’ensemble des δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I où δ i,1 ∈ ˜
T
i,1 pour tout i, tels que, en notant
δ i l’image de δ i,1 dans ˜
T
i , la famille δ I = (δ i ) i∈I appartienne à ˜
T
. Soient ϕ =
(ϕ i ) i∈I ∈ C
∞
c (K ˜
R(R)), γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I ∈ ˜
T
1 (R) un
Chapitre IX. Le cas archimédien
les mesures sur G p (R) et G q (R) se correspondent via le torseur intérieur φ p,q .
De même pour les mesures sur les M p (R). On suppose aussi que, pour i, j ∈ I,
l’isomorphisme ι i,j transporte la mesure sur T j (R) en celle sur T i (R).
Soient γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)). Pour i ∈ I, on définit
l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, f) comme
en [V] 1.8.
A partir de maintenant, on va utiliser les hypothèses de récurrence telles
qu’on les a posées en [V] 1.1.
Proposition. Il existe une unique application linéaire
Z(G) → Mat I (Diff
reg ( ˜
T ˜
G−reg (R))
ω -inv )
z
→ δ
K ˜
G,E
K ˜
M
(z) = (δ
K ˜
G,E
K ˜
M ;i,j
(z)) i,j∈I
qui vérifie la propriétés suivante :
– pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), tout γ I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), tout z ∈ Z(G) et tout i ∈ I,
on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ i , ω, zf) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
j∈I
δ
K ˜
L,E
K ˜
M ;i,j
(γ j , z L )I
K ˜
G,E
K ˜
L
(γ j , ω, f).
Preuve. On peut s’autoriser à conjuguer chaque ˜
T i par un élément de M p(i) (R).
On peut donc supposer qu’il existe un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) contenu
dans K ˜
M tel que, pour tout i, ˜
T i soit un sous-tore tordu maximal elliptique de
˜
R p(i) . Pour simplifier, on note simplement ˜
R i = ˜
R p(i) , ˜
M i = ˜
M p(i) , ˜
G i = ˜
G p(i) . En
appliquant la description de [I] 4.9, on voit que l’on peut fixer des familles (R
i ) i∈I
et ( ˜
T
i ) i∈I vérifiant les conditions qui suivent. Pour tout i ∈ I, R
i est une donnée
endoscopique elliptique et relevante de (KR, K ˜
R, a R ) et ˜
T
i est un sous-tore tordu
maximal de ˜
R
i . Pour tous i, j ∈ I, il y a un homomorphisme ξ i,j : T j → T
i
et une application compatible ˜
ξ i,j : ˜
T j → ˜
T
i , tous deux définis sur R, qui se
quotientent en des isomorphismes T j /(1 − θ)(T j ) T
i et ˜
T j /(1 − θ)(T j ) ˜
T
i (on
note uniformément θ les automorphismes bien qu’ils dépendent évidemment du
tore en question). On a ˜
ξ i,j ◦ ˜ ι j,k = ˜
ξ i,k pour tous i, j, k ∈ I. Pour un élément
γ j ∈ ˜
T j (R) fortement régulier dans ˜
R i , la classe de conjugaison stable de ˜
ξ i,j (γ j )
dans ˜
R
i (R) correspond à celle γ j dans ˜
R j (R). Notons ˜
T
l’ensemble des δ I = (δ i ) i∈I
tels que δ i ∈ ˜
T
i pour tout i et il existe γ I ∈ ˜
T de sorte que δ i = ˜
ξ i,j (γ j ) pour
tous i, j ∈ I. Des applications ˜
ξ i,j se déduit une application surjective ˜
ξ : ˜
T → ˜
T
.
Pour tout i ∈ I, fixons des données auxiliaires R
i,1 , . . . , Δ i,1 pour R
i . Notons
˜
T
1 l’ensemble des δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I où δ i,1 ∈ ˜
T
i,1 pour tout i, tels que, en notant
δ i l’image de δ i,1 dans ˜
T
i , la famille δ I = (δ i ) i∈I appartienne à ˜
T
. Soient ϕ =
(ϕ i ) i∈I ∈ C
∞
c (K ˜
R(R)), γ I = (γ i ) i∈I ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et δ I,1 = (δ i,1 ) i∈I ∈ ˜
T
1 (R) un