IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1007
ζ. Notons l(ζ) l’ordre de ζ. Il divise k. Le calcul ci-dessus montre que Σ
G(s) (T ) −
Σ
M (T ) est formé des α
∈ Σ
G (T ) − Σ
M (T ) tels que ˆ
α
∗ ∈ l(ζ)Zβ 1,∗ . Cela entraîne
que k
ˆ
G
(s) (α) = k/l(ζ) et que (Z( ˆ
M )
Γ R ∩ Z( ˆ
G
(s)))/Z( ˆ
G)
Γ R s’identifie au groupe
des ζ
∈ C
× tels que (ζ
)
l(ζ) = 1. Ce groupe a l(ζ) élements. Par construction de
G
(s), les actions galoisiennes sur Z( ˆ
G
(s)) et sur Z( ˆ
M ) s’identifient sur Z( ˆ
G
(s))∩
Z( ˆ
M ). Le groupe précédent est donc égal à Z( ˆ
G
(s))
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R . En se rappelant la
définition de i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) ([II] 1.10), on obtient i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = l(ζ)
−1 . L’égalité
(5) à prouver se récrit
1 =
ζ∈ζ k
l(ζ)
k
l(ζ)
−1 .
Cette égalité est évidente.
IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels
Au lieu d’un triplet (G, ˜
G, a), on considère maintenant un triplet (KG, K ˜
G, a)
comme en [I] 1.11. On fixe un K-espace de Levi minimal K ˜
M 0 . Soit K ˜
M ∈
L(K ˜
M 0 ), cf. [I] 3.5. Au lieu d’un tore tordu ˜
T , on fixe des familles finies ( ˜
T i ) i∈I et
(˜ ι i,j ) i,j∈I vérifiant les conditions suivantes (on renvoie à [I] 1.11 et [I] 3.5 pour les
notations). On peut supposer que ˜
φ p,q ( ˜
M q ) = ˜
M p pour tous p, q ∈ Π
M . Pour tout
i ∈ I, il existe p(i) ∈ Π
M tel que ˜
T i soit un sous-tore tordu maximal de ˜
M p(i) .
Pour deux éléments i, j ∈ I, ˜ ι i,j est un isomorphisme défini sur R de ˜
T j sur ˜
T i . On
suppose qu’il existe x i,j ∈ M p(i) tel que ˜ ι i,j soit la restriction de ad xi,j ◦ ˜
φ p(i),p(j) .
On note ι i,j : T j → T i la restriction de ad xi,j ◦φ p(i),p(j) , qui est un isomorphisme
défini sur R. On suppose que ˜ ι i,j ◦ ˜ ι j,k = ˜ ι i,k pour tous i, j, k ∈ I. On suppose
enfin que, pour tout i ∈ I et tout γ ∈ ˜
T i (R) qui est fortement régulier dans
˜
M p(i) , l’ensemble {˜ ι j,i (γ); j ∈ I} est un ensemble de représentants des classes de
conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ dans K ˜
M (R).
Remarque. Pour tout p ∈ Π
M et tout sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
M p , on peut
compléter ˜
T en une famille ( ˜
T i ) i∈I et définir une famille d’isomorphismes (˜ ι i,j ) i,j∈I
de sorte que les conditions ci-dessus soient vérifiées.
On note ˜
T l’ensemble des familles γ I = (γ i ) i∈I telles que, pour tout i ∈ I,
γ i ∈ ˜
T i et, pour tous i, j ∈ I, on ait γ i = ˜ ι i,j (γ j ). On définit le sous-ensemble
évident ˜
T ˜
G -reg . Pour i ∈ I, on a introduit en 1.1 divers espaces de fonctions
ou opérateurs différentiels C
∞
c ( ˜
T i, ˜
Gi -reg (R))
ω -inv , Diff
cst ( ˜
T i (R))
ω -inv etc. . . Pour
i, j ∈ I, les isomorphismes ˜ ι i,j identifient les espaces indexés par i à ceux indexés
par j. On note simplement ces espaces C
∞
c ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv , Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv
etc. . . Pour chacun de ces espaces, disons pour l’espace E, on note Mat I (E) l’espace
des matrices carrées I × I à coefficients dans E.
De nouveau, on fixe des mesures sur tous les groupes intervenant. On suppose
que les mesures sur les G p (R) sont cohérentes en ce sens que, pour p, q ∈ Π,
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ζ. Notons l(ζ) l’ordre de ζ. Il divise k. Le calcul ci-dessus montre que Σ
G(s) (T ) −
Σ
M (T ) est formé des α
∈ Σ
G (T ) − Σ
M (T ) tels que ˆ
α
∗ ∈ l(ζ)Zβ 1,∗ . Cela entraîne
que k
ˆ
G
(s) (α) = k/l(ζ) et que (Z( ˆ
M )
Γ R ∩ Z( ˆ
G
(s)))/Z( ˆ
G)
Γ R s’identifie au groupe
des ζ
∈ C
× tels que (ζ
)
l(ζ) = 1. Ce groupe a l(ζ) élements. Par construction de
G
(s), les actions galoisiennes sur Z( ˆ
G
(s)) et sur Z( ˆ
M ) s’identifient sur Z( ˆ
G
(s))∩
Z( ˆ
M ). Le groupe précédent est donc égal à Z( ˆ
G
(s))
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R . En se rappelant la
définition de i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) ([II] 1.10), on obtient i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = l(ζ)
−1 . L’égalité
(5) à prouver se récrit
1 =
ζ∈ζ k
l(ζ)
k
l(ζ)
−1 .
Cette égalité est évidente.
IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels
Au lieu d’un triplet (G, ˜
G, a), on considère maintenant un triplet (KG, K ˜
G, a)
comme en [I] 1.11. On fixe un K-espace de Levi minimal K ˜
M 0 . Soit K ˜
M ∈
L(K ˜
M 0 ), cf. [I] 3.5. Au lieu d’un tore tordu ˜
T , on fixe des familles finies ( ˜
T i ) i∈I et
(˜ ι i,j ) i,j∈I vérifiant les conditions suivantes (on renvoie à [I] 1.11 et [I] 3.5 pour les
notations). On peut supposer que ˜
φ p,q ( ˜
M q ) = ˜
M p pour tous p, q ∈ Π
M . Pour tout
i ∈ I, il existe p(i) ∈ Π
M tel que ˜
T i soit un sous-tore tordu maximal de ˜
M p(i) .
Pour deux éléments i, j ∈ I, ˜ ι i,j est un isomorphisme défini sur R de ˜
T j sur ˜
T i . On
suppose qu’il existe x i,j ∈ M p(i) tel que ˜ ι i,j soit la restriction de ad xi,j ◦ ˜
φ p(i),p(j) .
On note ι i,j : T j → T i la restriction de ad xi,j ◦φ p(i),p(j) , qui est un isomorphisme
défini sur R. On suppose que ˜ ι i,j ◦ ˜ ι j,k = ˜ ι i,k pour tous i, j, k ∈ I. On suppose
enfin que, pour tout i ∈ I et tout γ ∈ ˜
T i (R) qui est fortement régulier dans
˜
M p(i) , l’ensemble {˜ ι j,i (γ); j ∈ I} est un ensemble de représentants des classes de
conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ dans K ˜
M (R).
Remarque. Pour tout p ∈ Π
M et tout sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
M p , on peut
compléter ˜
T en une famille ( ˜
T i ) i∈I et définir une famille d’isomorphismes (˜ ι i,j ) i,j∈I
de sorte que les conditions ci-dessus soient vérifiées.
On note ˜
T l’ensemble des familles γ I = (γ i ) i∈I telles que, pour tout i ∈ I,
γ i ∈ ˜
T i et, pour tous i, j ∈ I, on ait γ i = ˜ ι i,j (γ j ). On définit le sous-ensemble
évident ˜
T ˜
G -reg . Pour i ∈ I, on a introduit en 1.1 divers espaces de fonctions
ou opérateurs différentiels C
∞
c ( ˜
T i, ˜
Gi -reg (R))
ω -inv , Diff
cst ( ˜
T i (R))
ω -inv etc. . . Pour
i, j ∈ I, les isomorphismes ˜ ι i,j identifient les espaces indexés par i à ceux indexés
par j. On note simplement ces espaces C
∞
c ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv , Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv
etc. . . Pour chacun de ces espaces, disons pour l’espace E, on note Mat I (E) l’espace
des matrices carrées I × I à coefficients dans E.
De nouveau, on fixe des mesures sur tous les groupes intervenant. On suppose
que les mesures sur les G p (R) sont cohérentes en ce sens que, pour p, q ∈ Π,