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Chapitre IX. Le cas archimédien
Preuve. On va plutôt prouver que cela est vrai quand on remplace Ω par n’importe quel élément Ω ∈ Ω + Sym(z(G)). Utilisons la définition 2.1(1) pour z = Ω.
Le premier terme δ
˜
G
˜
M
(δ, Ω) est la multiplication par C
˜
G
˜
M
(δ), cf. la remarque de
1.7. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec s = 1. On introduit des données auxiliaires
G
1 (s), . . . , Δ 1 (s). En notant ˜
T 1 (s) l’image réciproque de ˜
T ⊂ ˜
M ⊂ ˜
G
(s) dans
˜
G
1 (s), on fixe une forme quadratique définie positive sur X ∗ (T 1 (s)) ⊗ Z R compatible avec celle déjà fixée sur X ∗ (T ) ⊗ Z R, au sens expliqué en 1.8. On introduit
l’opérateur de Casimir Ω
G
1 (s) relatif à cette forme. Il n’est pas vrai en général que
l’image de Ω
G
1 (s) dans Z(G
(s)) soit égale à celle de Ω = Ω
G . Mais on vérifie facilement que l’image de l’espace affine Ω
G
1 (s) + Sym(z(G
1 (s))) contient celle de l’espace affine Ω
G +Sym(z(G)). On peut donc choisir Ω
G
1 (s)
∈ Ω
G
1 (s) +Sym(z(G
1 (s)))
dont l’image dans Z(G
(s)) soit égale à celle de Ω. Pour δ 1 ∈ ˜
T 1 (s; R) au-dessus de
δ, l’opérateur δ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 , Ω
G
1 (s) ) est la multiplication par SC
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 ). Ce terme
coïncide avec SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ). On obtient que Sδ
G
(s)
M
(δ, Ω
G
(s) ) est la multiplication
par SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ). En revenant à la définition 2.1(1), on voit que, pour prouver la
proposition, il suffit de prouver l’égalité
SC
˜
G
˜
M
(δ) = C
˜
G
˜
M
(δ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ),
ou encore
(4)
C
˜
G
˜
M
(δ) =
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ).
Cela est clair si d ≥ 2 : tout est nul. Supposons d = 1. Pour tout s, l’ensemble Σ
G
(s)
est un sous-ensemble de Σ
G . Tous les termes sont donc des sommes sur l’ensemble
Σ
G (T ) − Σ
M (T ). On peut fixer un élément α de cet ensemble et montrer que le
terme indexé par α dans le membre de gauche de (4) est égal à la somme des termes
indexés par α dans le membre de droite. Dans chacun de ces termes apparaît un
facteur commun −|α |A ˜
M
|(1−α(δ))
−1 (1−α(δ)
−1 )
−1 . On peut se limiter aux autres
termes. D’après les formules (2) et (3), l’égalité restant à prouver se réduit à
(5)
1 =
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,α∈Σ G (s) (T )
k
ˆ
G
(s) (ˆ α)
−1 i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)).
Fixons β 1 ∈ Σ
ˆ
G
− Σ
ˆ
M dont la restriction β 1,∗ à Z( ˆ
M )
Γ R soit indivisible. Quitte à
changer β 1 en −β 1 , on peut supposer que ˆ
α ∗ = k
ˆ
G (ˆ α)β 1,∗ . L’application s → β 1 (s)
identifie Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R à C
× . Pour α
∈ Σ
G (T ) − Σ
M (T ), on a α
∈ Σ
G
(s) (T )
si et seulement si β 1 (s)
k
ˆ
G (α
) = 1. Il en résulte d’abord que la somme sur s de
l’expression (5) s’identifie à une somme sur ζ ∈ ζ k , où k = k
ˆ
G (α) et ζ k est le groupe
des racines k-ièmes de l’unité dans C
× . Ensuite, soit ζ ∈ ζ k et soit s tel que β 1 (s) =
Chapitre IX. Le cas archimédien
Preuve. On va plutôt prouver que cela est vrai quand on remplace Ω par n’importe quel élément Ω ∈ Ω + Sym(z(G)). Utilisons la définition 2.1(1) pour z = Ω.
Le premier terme δ
˜
G
˜
M
(δ, Ω) est la multiplication par C
˜
G
˜
M
(δ), cf. la remarque de
1.7. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec s = 1. On introduit des données auxiliaires
G
1 (s), . . . , Δ 1 (s). En notant ˜
T 1 (s) l’image réciproque de ˜
T ⊂ ˜
M ⊂ ˜
G
(s) dans
˜
G
1 (s), on fixe une forme quadratique définie positive sur X ∗ (T 1 (s)) ⊗ Z R compatible avec celle déjà fixée sur X ∗ (T ) ⊗ Z R, au sens expliqué en 1.8. On introduit
l’opérateur de Casimir Ω
G
1 (s) relatif à cette forme. Il n’est pas vrai en général que
l’image de Ω
G
1 (s) dans Z(G
(s)) soit égale à celle de Ω = Ω
G . Mais on vérifie facilement que l’image de l’espace affine Ω
G
1 (s) + Sym(z(G
1 (s))) contient celle de l’espace affine Ω
G +Sym(z(G)). On peut donc choisir Ω
G
1 (s)
∈ Ω
G
1 (s) +Sym(z(G
1 (s)))
dont l’image dans Z(G
(s)) soit égale à celle de Ω. Pour δ 1 ∈ ˜
T 1 (s; R) au-dessus de
δ, l’opérateur δ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 , Ω
G
1 (s) ) est la multiplication par SC
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 ). Ce terme
coïncide avec SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ). On obtient que Sδ
G
(s)
M
(δ, Ω
G
(s) ) est la multiplication
par SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ). En revenant à la définition 2.1(1), on voit que, pour prouver la
proposition, il suffit de prouver l’égalité
SC
˜
G
˜
M
(δ) = C
˜
G
˜
M
(δ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ),
ou encore
(4)
C
˜
G
˜
M
(δ) =
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))SC
˜
G
(s)
˜
M
(δ).
Cela est clair si d ≥ 2 : tout est nul. Supposons d = 1. Pour tout s, l’ensemble Σ
G
(s)
est un sous-ensemble de Σ
G . Tous les termes sont donc des sommes sur l’ensemble
Σ
G (T ) − Σ
M (T ). On peut fixer un élément α de cet ensemble et montrer que le
terme indexé par α dans le membre de gauche de (4) est égal à la somme des termes
indexés par α dans le membre de droite. Dans chacun de ces termes apparaît un
facteur commun −|α |A ˜
M
|(1−α(δ))
−1 (1−α(δ)
−1 )
−1 . On peut se limiter aux autres
termes. D’après les formules (2) et (3), l’égalité restant à prouver se réduit à
(5)
1 =
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,α∈Σ G (s) (T )
k
ˆ
G
(s) (ˆ α)
−1 i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)).
Fixons β 1 ∈ Σ
ˆ
G
− Σ
ˆ
M dont la restriction β 1,∗ à Z( ˆ
M )
Γ R soit indivisible. Quitte à
changer β 1 en −β 1 , on peut supposer que ˆ
α ∗ = k
ˆ
G (ˆ α)β 1,∗ . L’application s → β 1 (s)
identifie Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R à C
× . Pour α
∈ Σ
G (T ) − Σ
M (T ), on a α
∈ Σ
G
(s) (T )
si et seulement si β 1 (s)
k
ˆ
G (α
) = 1. Il en résulte d’abord que la somme sur s de
l’expression (5) s’identifie à une somme sur ζ ∈ ζ k , où k = k
ˆ
G (α) et ζ k est le groupe
des racines k-ièmes de l’unité dans C
× . Ensuite, soit ζ ∈ ζ k et soit s tel que β 1 (s) =