IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1005
On se rappelle que (5) est la somme en s intervenant dans (2) et que, dans cette
formule, elle est affectée du signe −. En appliquant la formule ci-dessus, la formule
(1) devient celle de l’énoncé.
IX.2.2 Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels
On conserve la situation du paragraphe précédent. La formule de définition (1) de
ce paragraphe et une récurrence immédiate montrent que les opérateurs Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z)
vérifient une proposition analogue à 1.3.
On a
(1) si ˜
M = ˜
G, alors Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = ∂ zT .
En effet, la définition 2.1(1) donne simplement Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = δ
˜
G
˜
M
(δ, z), d’où le
résultat d’après 1.2(2).
Comme en 1.6, introduisons l’opérateur de Casimir Ω. Posons d = a ˜
M −
a ˜
G = a M − a G et supposons d ≥ 1. Supposons d’abord d = 1. Remarquons que,
dans notre situation à torsion intérieure, la définition de la fonction C
˜
G
˜
M
de 1.7 se
simplifie. On a simplement
(2)
C
˜
G
˜
M
(δ) = −
α∈Σ G (T )−Σ M (T )
|α |AM |(1 − α(δ))
−1 (1 − α(δ)
−1 )
−1 .
On a noté simplement α(δ) le terme α(t δ ), où t δ est défini en 1.4. Une définition
équivalente dans notre situation à torsion intérieure est d’envoyer δ en un élément
δ ad ∈ T ad ⊂ G AD et de poser α(δ) = α(δ ad ). Introduisons comme toujours une
paire de Borel épinglée de ˆ
G pour laquelle on réalise ˆ
M comme un Levi standard.
On note ˆ
T le tore de cette paire. Il y a une bijection α → ˆ
α de Σ
G (T ) sur
Σ
ˆ
G ( ˆ
T ), qui se restreint en une bijection de Σ
G (T ) − Σ
M (T ) sur Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ).
Puisque d = 1, les restrictions à Z( ˆ
M )
Γ R d’éléments de Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) sont
toutes proportionnelles. Précisément, pour β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ), notons β ∗ sa
restriction à Z( ˆ
M )
Γ R . On peut fixer β 1 ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) et un entier N ≥ 1
tels que l’ensemble des β ∗ pour β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) soit exactement l’ensemble
{±kβ 1,∗ ; k = 1, . . . , N}. Pour tout β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T )−Σ
ˆ
M ( ˆ
T ), on note k
ˆ
G (β) ∈ N l’entier
tel que β ∗ = ±k
ˆ
G (β)β 1,∗ . On définit une fonction SC
˜
G
˜
M
sur ˜
T ˜
G -reg par
(3) SC
˜
G
˜
M
(δ) = −
α∈Σ G (T )−Σ M (T )
k
ˆ
G (ˆ α)
−1
|α |AM |(1 − α(δ))
−1 (1 − α(δ)
−1 )
−1 .
Si maintenant d ≥ 2, on pose SC
˜
G
˜
M
= 0.
Proposition. On suppose d ≥ 1. Alors, pour tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), l’opérateur
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, Ω) est la multiplication par SC
˜
G
˜
M
(δ).
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On se rappelle que (5) est la somme en s intervenant dans (2) et que, dans cette
formule, elle est affectée du signe −. En appliquant la formule ci-dessus, la formule
(1) devient celle de l’énoncé.
IX.2.2 Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels
On conserve la situation du paragraphe précédent. La formule de définition (1) de
ce paragraphe et une récurrence immédiate montrent que les opérateurs Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z)
vérifient une proposition analogue à 1.3.
On a
(1) si ˜
M = ˜
G, alors Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = ∂ zT .
En effet, la définition 2.1(1) donne simplement Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = δ
˜
G
˜
M
(δ, z), d’où le
résultat d’après 1.2(2).
Comme en 1.6, introduisons l’opérateur de Casimir Ω. Posons d = a ˜
M −
a ˜
G = a M − a G et supposons d ≥ 1. Supposons d’abord d = 1. Remarquons que,
dans notre situation à torsion intérieure, la définition de la fonction C
˜
G
˜
M
de 1.7 se
simplifie. On a simplement
(2)
C
˜
G
˜
M
(δ) = −
α∈Σ G (T )−Σ M (T )
|α |AM |(1 − α(δ))
−1 (1 − α(δ)
−1 )
−1 .
On a noté simplement α(δ) le terme α(t δ ), où t δ est défini en 1.4. Une définition
équivalente dans notre situation à torsion intérieure est d’envoyer δ en un élément
δ ad ∈ T ad ⊂ G AD et de poser α(δ) = α(δ ad ). Introduisons comme toujours une
paire de Borel épinglée de ˆ
G pour laquelle on réalise ˆ
M comme un Levi standard.
On note ˆ
T le tore de cette paire. Il y a une bijection α → ˆ
α de Σ
G (T ) sur
Σ
ˆ
G ( ˆ
T ), qui se restreint en une bijection de Σ
G (T ) − Σ
M (T ) sur Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ).
Puisque d = 1, les restrictions à Z( ˆ
M )
Γ R d’éléments de Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) sont
toutes proportionnelles. Précisément, pour β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ), notons β ∗ sa
restriction à Z( ˆ
M )
Γ R . On peut fixer β 1 ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) et un entier N ≥ 1
tels que l’ensemble des β ∗ pour β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T ) − Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) soit exactement l’ensemble
{±kβ 1,∗ ; k = 1, . . . , N}. Pour tout β ∈ Σ
ˆ
G ( ˆ
T )−Σ
ˆ
M ( ˆ
T ), on note k
ˆ
G (β) ∈ N l’entier
tel que β ∗ = ±k
ˆ
G (β)β 1,∗ . On définit une fonction SC
˜
G
˜
M
sur ˜
T ˜
G -reg par
(3) SC
˜
G
˜
M
(δ) = −
α∈Σ G (T )−Σ M (T )
k
ˆ
G (ˆ α)
−1
|α |AM |(1 − α(δ))
−1 (1 − α(δ)
−1 )
−1 .
Si maintenant d ≥ 2, on pose SC
˜
G
˜
M
= 0.
Proposition. On suppose d ≥ 1. Alors, pour tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), l’opérateur
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, Ω) est la multiplication par SC
˜
G
˜
M
(δ).