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Chapitre IX. Le cas archimédien
Remarquons que la somme en ˜
L et s est en fait limitée à ( ˜
L, s) = ( ˜
G, 1) puisque
pour ce terme exceptionnel, la somme en t est vide. L’opérateur Sδ
G
M (δ, z
G ) correspondant au couple ( ˜
G, 1) n’intervient donc pas (ce qui est heureux puisqu’on
ne l’a pas encore défini). Mais, pour la commodité du calcul qui suit, il convient
de poser formellement Sδ
G
M (δ, z
G ) = Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z). Pour s, t intervenant ci-dessus, on
vérifie l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t)).
De plus, la non-nullité du membre de droite ci-dessus implique l’ellipticité de L
(s).
La somme ci-dessus devient
(5)
˜
L∈L( ˜
M )
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))X( ˜
L, s),
où X( ˜
L, s) s’obtient en appliquant l’opérateur différentiel Sδ
L
(s)
M (δ, (z L )
L
(s) ) à la
fonction de δ
(6)
t∈sZ( ˆ
L) Γ R /Z( ˆ
G Γ R ,t =1
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
L (s) (δ, f
G
(t) ).
Supposons d’abord ˜
L = ˜
M et s = 1. Dans la formule (6), la restriction t = 1 est
superflue et (6) n’est autre que I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), δ, f). Le transfert de δ vu comme une
distribution stable n’est autre que la somme des intégrales orbitales sur les éléments
de ˙
X (δ). On a prouvé en [V] proposition 1.13 l’égalité I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), δ, f) = Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Supposons maintenant ˜
L = ˜
M et s = 1. Alors (6) est égal à I
˜
G,E
˜
L
(L, δ, f)−S ˜
L (δ, f ).
Ou encore, par le même argument, à Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ) − S
˜
G
˜
L
(δ, f ). Si enfin ˜
L = ˜
M , la
somme (6) est encore égale à Λ
˜
G
˜
M
(δ, f ) − S
˜
G
˜
M
(δ, f ) : c’est la formule (1) pour z = 1.
Remarquons que la contribution des termes pour lesquels s = 1 se simplifie : on a
simplement i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(1)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L) = 1 et Sδ
L
(1)
M
(δ, (z L )
L
(1) ) = Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L ). On
transforme (5) conformément à ces calculs. On obtient
˜
L∈L( ˜
M)
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))Sδ
L
(s)
M
(δ, (z L )
L
(s) )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f )
−
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).
En utilisant la formule (1) en y remplaçant ˜
G par ˜
L, la première somme ci-dessus
devient simplement
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(δ, z L )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ),
ce qui est le membre de droite de (3). En appliquant (3), on obtient que (5) est
égal à
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) −
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Chapitre IX. Le cas archimédien
Remarquons que la somme en ˜
L et s est en fait limitée à ( ˜
L, s) = ( ˜
G, 1) puisque
pour ce terme exceptionnel, la somme en t est vide. L’opérateur Sδ
G
M (δ, z
G ) correspondant au couple ( ˜
G, 1) n’intervient donc pas (ce qui est heureux puisqu’on
ne l’a pas encore défini). Mais, pour la commodité du calcul qui suit, il convient
de poser formellement Sδ
G
M (δ, z
G ) = Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z). Pour s, t intervenant ci-dessus, on
vérifie l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t)).
De plus, la non-nullité du membre de droite ci-dessus implique l’ellipticité de L
(s).
La somme ci-dessus devient
(5)
˜
L∈L( ˜
M )
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))X( ˜
L, s),
où X( ˜
L, s) s’obtient en appliquant l’opérateur différentiel Sδ
L
(s)
M (δ, (z L )
L
(s) ) à la
fonction de δ
(6)
t∈sZ( ˆ
L) Γ R /Z( ˆ
G Γ R ,t =1
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
L (s) (δ, f
G
(t) ).
Supposons d’abord ˜
L = ˜
M et s = 1. Dans la formule (6), la restriction t = 1 est
superflue et (6) n’est autre que I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), δ, f). Le transfert de δ vu comme une
distribution stable n’est autre que la somme des intégrales orbitales sur les éléments
de ˙
X (δ). On a prouvé en [V] proposition 1.13 l’égalité I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), δ, f) = Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Supposons maintenant ˜
L = ˜
M et s = 1. Alors (6) est égal à I
˜
G,E
˜
L
(L, δ, f)−S ˜
L (δ, f ).
Ou encore, par le même argument, à Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ) − S
˜
G
˜
L
(δ, f ). Si enfin ˜
L = ˜
M , la
somme (6) est encore égale à Λ
˜
G
˜
M
(δ, f ) − S
˜
G
˜
M
(δ, f ) : c’est la formule (1) pour z = 1.
Remarquons que la contribution des termes pour lesquels s = 1 se simplifie : on a
simplement i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(1)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L) = 1 et Sδ
L
(1)
M
(δ, (z L )
L
(1) ) = Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L ). On
transforme (5) conformément à ces calculs. On obtient
˜
L∈L( ˜
M)
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))Sδ
L
(s)
M
(δ, (z L )
L
(s) )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f )
−
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).
En utilisant la formule (1) en y remplaçant ˜
G par ˜
L, la première somme ci-dessus
devient simplement
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(δ, z L )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ),
ce qui est le membre de droite de (3). En appliquant (3), on obtient que (5) est
égal à
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) −
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).