IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1003
qu’il revient au même d’évaluer d’appliquer l’opérateur δ
˜
L
˜
M
(δ
, z L ) à la fonction
δ
→ I
˜
G
˜
M
(ad xγ (δ
), f), puis dévaluer la fonction obtenue en δ. On obtient alors
l’égalité
(3)
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
˜
L∈L( ˜
M )
δ
˜
L
˜
M
(δ, z L )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1. Comme plus haut, on fixe des données
auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s) pour G
(s) ainsi que des éléments z 1 (s) ∈ Z(G
1 (s))
d’image z
G
(s) dans Z(G
(s)) et δ 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s) se projetant sur δ. En tant qu’élément de D
st
g´ eom (M), δ s’identifie à un certain multiple de la distribution stable
associée à δ 1 (s), disons que c’est c 1 (s) fois cette distribution. Identifions aussi f
G
à un élément f
˜
G
1 (s)
∈ C
∞
c,λ1(s) ( ˜
G
1 (s; R)). Alors
S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ) = c 1 (s)S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)f
˜
G
1 (s) ).
Puisque dim(G
1,SC (s)) < dim(G SC ), on peut appliquer la proposition par récurrence. On obtient l’égalité
S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) )
= c 1 (s)
˜
L
1,s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M)
Sδ
˜
L
1,s
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s) L
1,s
)S
˜
G
1 (s)
˜
L
1,s
(δ 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Comme on l’a dit plus haut, quand on fait varier les données auxiliaires, les opérateurs Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)) se recollent en des opérateurs Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) ∈
Diff
cst ( ˜
T (R)). L’égalité ci-dessus se récrit
(4) S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ) =
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M)
Sδ
L
(s)
M
(δ, (z
G
(s) ) L (s )S
G
(s)
L (s) (δ, f
G
(s) ).
On sait que ˜
L
s détermine un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) et une donnée endoscopique
de (L, ˜
L). On a noté L
(s) cette donnée endoscopique.
Maintenant, la preuve reprend celle de la proposition 2.5 de [II]. On insère la
formule (4) dans la somme en s de (2). Chaque couple (s, ˜
L
s ) détermine un espace
de Levi ˜
L de ˜
G et, comme on vient de le dire, une donnée endoscopique L
(s) de
˜
L, dont la classe ne dépend que de l’image de s dans Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R . Le terme
(z
G
(s) ) L
s
) est égal à (z L )
L
(s) . La somme en s de (2) se transforme en
˜
L∈L( ˜
M )
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R ,
L
(s) elliptique
t∈sZ( ˆ
L)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
t =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t))
Sδ
L
(s)
M
(δ, (z L )
L
(s) )S
G
(t)
L (s) (δ, f
G
(t) ).
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qu’il revient au même d’évaluer d’appliquer l’opérateur δ
˜
L
˜
M
(δ
, z L ) à la fonction
δ
→ I
˜
G
˜
M
(ad xγ (δ
), f), puis dévaluer la fonction obtenue en δ. On obtient alors
l’égalité
(3)
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
˜
L∈L( ˜
M )
δ
˜
L
˜
M
(δ, z L )Λ
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1. Comme plus haut, on fixe des données
auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s) pour G
(s) ainsi que des éléments z 1 (s) ∈ Z(G
1 (s))
d’image z
G
(s) dans Z(G
(s)) et δ 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s) se projetant sur δ. En tant qu’élément de D
st
g´ eom (M), δ s’identifie à un certain multiple de la distribution stable
associée à δ 1 (s), disons que c’est c 1 (s) fois cette distribution. Identifions aussi f
G
à un élément f
˜
G
1 (s)
∈ C
∞
c,λ1(s) ( ˜
G
1 (s; R)). Alors
S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ) = c 1 (s)S
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)f
˜
G
1 (s) ).
Puisque dim(G
1,SC (s)) < dim(G SC ), on peut appliquer la proposition par récurrence. On obtient l’égalité
S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) )
= c 1 (s)
˜
L
1,s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M)
Sδ
˜
L
1,s
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s) L
1,s
)S
˜
G
1 (s)
˜
L
1,s
(δ 1 (s), f
˜
G
1 (s) ).
Comme on l’a dit plus haut, quand on fait varier les données auxiliaires, les opérateurs Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)) se recollent en des opérateurs Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) ∈
Diff
cst ( ˜
T (R)). L’égalité ci-dessus se récrit
(4) S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ) =
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M)
Sδ
L
(s)
M
(δ, (z
G
(s) ) L (s )S
G
(s)
L (s) (δ, f
G
(s) ).
On sait que ˜
L
s détermine un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) et une donnée endoscopique
de (L, ˜
L). On a noté L
(s) cette donnée endoscopique.
Maintenant, la preuve reprend celle de la proposition 2.5 de [II]. On insère la
formule (4) dans la somme en s de (2). Chaque couple (s, ˜
L
s ) détermine un espace
de Levi ˜
L de ˜
G et, comme on vient de le dire, une donnée endoscopique L
(s) de
˜
L, dont la classe ne dépend que de l’image de s dans Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R . Le terme
(z
G
(s) ) L
s
) est égal à (z L )
L
(s) . La somme en s de (2) se transforme en
˜
L∈L( ˜
M )
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R ,
L
(s) elliptique
t∈sZ( ˆ
L)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
t =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t))
Sδ
L
(s)
M
(δ, (z L )
L
(s) )S
G
(t)
L (s) (δ, f
G
(t) ).