1002
Chapitre IX. Le cas archimédien
δ
˜
G
˜
M
(δ, z) de 1.2. On définit alors
(1)
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = δ
˜
G
˜
M
(δ, z) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ).
Par récurrence, pour s = 1, l’application δ → Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur ˜
T ˜
G (s) -reg (C), a fortiori sur
˜
T ˜
G -reg (C). Il en est de même de δ → δ
˜
G
˜
M
(δ, z) d’après la proposition 1.3. Donc δ →
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur ˜
T ˜
G -reg (C).
Posons
Λ
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
γ∈ ˙
X (δ)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ),
où ˙
X (δ) est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (R)
dans la classe de conjugaison stable de δ. Par définition
(2) S
˜
G
˜
M
(δ, zf ) = Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf )−
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ).
Cette formule requiert une explication. On a défini l’espace de distributions stables
D
st
g´ eom (M) par recollement des espaces D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (R)) pour les différentes données auxiliaires M 1 , ˜
M 1 etc. . . Mais pour notre donnée M, on peut prendre pour
données auxiliaires les données triviales M 1 = M , ˜
M 1 = ˜
M etc. . . L’élément δ
ayant déjà été identifié à une distribution stable sur ˜
M (R), il s’identifie aussi à un
élément de D
st
g´ eom (M). Cela donne un sens à la formule (2) ci-dessus.
Etudions Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ). Fixons δ. Pour tout γ ∈ ˙
X (δ), il existe un tore tordu
˜
T γ et un élément x γ ∈ M tel que ad xγ ( ˜
T ) = ˜
T γ , ad xγ (δ) = γ et l’isomorphisme
ad xγ : ˜
T → ˜
T γ soit défini sur R. Pour tout δ
∈ ˜
T ˜
G -reg (R), on peut supposer
˙
X (δ
) = {ad xγ (δ
); γ ∈ ˙
X (δ)}.
Alors
Λ
˜
G
˜
M
(δ
, f) =
γ∈ ˙
X (δ)
I
˜
G
˜
M
(ad xγ (δ
), f).
Remplaçons z par zf . En appliquant 1.2, on obtient
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
γ∈ ˙
X (δ)
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(ad xγ (δ), z L )I
˜
G
˜
L
(ad xγ (δ), f),
où le terme δ
˜
L
˜
M
(ad xγ (δ), z L )I
˜
G
˜
L
(ad xγ (δ), f) est ici la valeur en γ
= ad xγ (δ) de la
fonction γ
→ δ
˜
L
˜
M
(γ
, z L )I
˜
G
˜
L
(γ
, f) définie sur ˜
T γ (R). La propriété 1.6(4) implique
Chapitre IX. Le cas archimédien
δ
˜
G
˜
M
(δ, z) de 1.2. On définit alors
(1)
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) = δ
˜
G
˜
M
(δ, z) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ).
Par récurrence, pour s = 1, l’application δ → Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur ˜
T ˜
G (s) -reg (C), a fortiori sur
˜
T ˜
G -reg (C). Il en est de même de δ → δ
˜
G
˜
M
(δ, z) d’après la proposition 1.3. Donc δ →
Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur ˜
T ˜
G -reg (C).
Posons
Λ
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
γ∈ ˙
X (δ)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ),
où ˙
X (δ) est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (R)
dans la classe de conjugaison stable de δ. Par définition
(2) S
˜
G
˜
M
(δ, zf ) = Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf )−
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, (zf )
G
(s) ).
Cette formule requiert une explication. On a défini l’espace de distributions stables
D
st
g´ eom (M) par recollement des espaces D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (R)) pour les différentes données auxiliaires M 1 , ˜
M 1 etc. . . Mais pour notre donnée M, on peut prendre pour
données auxiliaires les données triviales M 1 = M , ˜
M 1 = ˜
M etc. . . L’élément δ
ayant déjà été identifié à une distribution stable sur ˜
M (R), il s’identifie aussi à un
élément de D
st
g´ eom (M). Cela donne un sens à la formule (2) ci-dessus.
Etudions Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ). Fixons δ. Pour tout γ ∈ ˙
X (δ), il existe un tore tordu
˜
T γ et un élément x γ ∈ M tel que ad xγ ( ˜
T ) = ˜
T γ , ad xγ (δ) = γ et l’isomorphisme
ad xγ : ˜
T → ˜
T γ soit défini sur R. Pour tout δ
∈ ˜
T ˜
G -reg (R), on peut supposer
˙
X (δ
) = {ad xγ (δ
); γ ∈ ˙
X (δ)}.
Alors
Λ
˜
G
˜
M
(δ
, f) =
γ∈ ˙
X (δ)
I
˜
G
˜
M
(ad xγ (δ
), f).
Remplaçons z par zf . En appliquant 1.2, on obtient
Λ
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
γ∈ ˙
X (δ)
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(ad xγ (δ), z L )I
˜
G
˜
L
(ad xγ (δ), f),
où le terme δ
˜
L
˜
M
(ad xγ (δ), z L )I
˜
G
˜
L
(ad xγ (δ), f) est ici la valeur en γ
= ad xγ (δ) de la
fonction γ
→ δ
˜
L
˜
M
(γ
, z L )I
˜
G
˜
L
(γ
, f) définie sur ˜
T γ (R). La propriété 1.6(4) implique