IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
1001
IX.2 Versions stables et endoscopiques
des opérateurs différentiels
IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels
On suppose dans ce paragraphe (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On
fixe comme en 1.1 un espace de Levi ˜
M et un sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
M ,
ainsi que des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. On sait définir
S
˜
G
˜
M
(δ, f) pour une distribution stable δ sur ˜
M (R) à support ˜
G-régulier et pour
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), cf. [V] 1.4. A un élément δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) est associée une telle
distribution δ, à savoir l’intégrale orbitale stable sur ˜
M (R) associée à la classe
de conjugaison stable de δ. On pose simplement S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f). Ce terme
devient ainsi une fonction de δ, qui est clairement C
∞ sur ˜
T ˜
G -reg (R).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
Z(G) → Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
z
→
Sδ
˜
G
˜
M
(z)
qui vérifie la propriété suivante
– pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et tout z ∈ Z(G), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Preuve. Soit δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R).
On va commencer par définir les opérateurs Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) et on montrera ensuite
qu’ils vérifient les propriétés requises. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1. On fixe des
données auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s) pour G
(s). L’élément z détermine un élément
z
G
(s)
∈ Z(G
(s)), cf. [III] 2.1. Fixons un élément z 1 (s) ∈ Z(G
1 (s)) d’image z
G
(s)
dans Z(G
(s)). Notons ˜
M 1 (s) et ˜
T 1 (s) les images réciproques de ˜
M et ˜
T dans
˜
G
1 (s). Soit δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et fixons un élément δ 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s) se projetant sur δ.
Puisque dim(G
1,SC (s)) < dim(G SC ), on peut supposer la proposition connue pour
˜
G
1 (s). On dispose donc d’un opérateur Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)). Les mêmes formalités
que l’on a développées en 1.8 pour les opérateurs δ
˜
G
˜
M
(γ, z) s’appliquent. On est
dans le cas particulier simple où la donnée endoscopique de (M, ˜
M, a M ) est la
donnée endoscopique maximale M = (M,
L M, 1). On voit que, quand on fait
varier les données auxiliaires, les opérateurs Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)) se recollent en
des opérateurs Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) ∈ Diff
cst ( ˜
T (R)). On dispose aussi de l’opérateur
1001
IX.2 Versions stables et endoscopiques
des opérateurs différentiels
IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels
On suppose dans ce paragraphe (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On
fixe comme en 1.1 un espace de Levi ˜
M et un sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
M ,
ainsi que des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. On sait définir
S
˜
G
˜
M
(δ, f) pour une distribution stable δ sur ˜
M (R) à support ˜
G-régulier et pour
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), cf. [V] 1.4. A un élément δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) est associée une telle
distribution δ, à savoir l’intégrale orbitale stable sur ˜
M (R) associée à la classe
de conjugaison stable de δ. On pose simplement S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f). Ce terme
devient ainsi une fonction de δ, qui est clairement C
∞ sur ˜
T ˜
G -reg (R).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
Z(G) → Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
z
→
Sδ
˜
G
˜
M
(z)
qui vérifie la propriété suivante
– pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et tout z ∈ Z(G), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, zf ) =
˜
L∈L( ˜
M)
Sδ
˜
L
˜
M
(δ, z L )S
˜
G
˜
L
(δ, f ).
Preuve. Soit δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R).
On va commencer par définir les opérateurs Sδ
˜
G
˜
M
(δ, z) et on montrera ensuite
qu’ils vérifient les propriétés requises. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1. On fixe des
données auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s) pour G
(s). L’élément z détermine un élément
z
G
(s)
∈ Z(G
(s)), cf. [III] 2.1. Fixons un élément z 1 (s) ∈ Z(G
1 (s)) d’image z
G
(s)
dans Z(G
(s)). Notons ˜
M 1 (s) et ˜
T 1 (s) les images réciproques de ˜
M et ˜
T dans
˜
G
1 (s). Soit δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et fixons un élément δ 1 (s) ∈ ˜
T 1 (s) se projetant sur δ.
Puisque dim(G
1,SC (s)) < dim(G SC ), on peut supposer la proposition connue pour
˜
G
1 (s). On dispose donc d’un opérateur Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)). Les mêmes formalités
que l’on a développées en 1.8 pour les opérateurs δ
˜
G
˜
M
(γ, z) s’appliquent. On est
dans le cas particulier simple où la donnée endoscopique de (M, ˜
M, a M ) est la
donnée endoscopique maximale M = (M,
L M, 1). On voit que, quand on fait
varier les données auxiliaires, les opérateurs Sδ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s)
(δ 1 (s), z 1 (s)) se recollent en
des opérateurs Sδ
G
(s)
M
(δ, z
G
(s) ) ∈ Diff
cst ( ˜
T (R)). On dispose aussi de l’opérateur