1000
Chapitre IX. Le cas archimédien
La projection de μ(λ ,, ) dans c
∗
⊕c
∗
est (μ(λ ), −μ(λ )). Pour ν ∈ t
∗
,λ
il existe un
unique ν ∈ t
∗
,λ
tel que (−ν , ν ) ait pour projection μ(λ ,, ) dans t
∗
,, . L’application
ν → ν est un isomorphisme de t
∗
,λ
sur t
∗
,λ
. Il est compatible à (3) et au fait
que les algèbres d’opérateurs différentiels s’identifient à des algèbres de polynômes
sur ces deux espaces affines. Il s’en déduit un isomorphisme
(4)
Z(G ) λ Z(G ) λ .
Il est formel de vérifier que, si z et z se correspondent par (4), alors δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z )
et δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z ) se correspondent par (3). Remarquons que l’image dans Z(G ) λ
de la classe Ω
˜
G + Sym(z(G )) correspond par (4) à l’image dans Z(G ) λ de la
classe Ω
˜
G + Sym(z(G )).
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Considérons des données endoscopiques G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a M ).
Supposons que M
s’identifie à un Levi de G
et que M
soit la donnée déduite
de G
via cette identification (cf. [I] 3.4). Supposons aussi que M
soit relevante
(donc aussi G
). Fixons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 pour G
, qui se
restreignent en des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
. Soient γ 0 ∈ ˜
T ˜
G -reg (R)
et δ 0 ∈ ˜
M
(R) correspondant à γ 0 . Notons ˜
T
le sous-tore tordu maximal de ˜
M
tel que δ ∈ ˜
T
(R). Alors on dispose d’un isomorphisme ξ : T /(1 − θ)(T ) T
dont on déduit un isomorphisme ˜
ξ : ˜
T /(1 − θ)(T ) ˜
T
tel que ˜
ξ(tγ 0 ) = ξ(t)δ 0 .
Modulo ces isomorphismes, les notations T
et ˜
T
sont cohérentes avec celles du
paragraphe 1.1.
Pour z
1 ∈ Z(G
1 ) λ1 et δ ∈ ˜
T
˜
G -reg
(R), on construit comme plus haut l’opérateur δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ, z
1 ) ∈ Diff
cst ( ˜
T
1 (R)) λ1 . Faisons varier les données auxiliaires. Les
algèbres Z(G
1 ) λ1 se recollent en une algèbre que l’on a notée Z(G
) en [IV]
2.1. Les espaces affines t
∗
1,λ1 se recollent en un espace affine isomorphe à t
∗
θ,ω ,
cf. [IV] 2.1. Donc les algèbres Diff
cst ( ˜
T
1 (R)) λ1 se recollent en une algèbre isomorphe à Diff( ˜
T (R)) θ,ω . D’après les considérations ci-dessus, pour z
∈ Z(G
),
les opérateurs δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ, z
1 ) (où z
1 correspond à z
) se recollent en un opérateur
que l’on peut noter δ
G
M (δ, z
) ∈ Diff
cst ( ˜
T (R)) θ,ω . Les algèbres de fonctions rationnelles et régulières P ol( ˜
T
1, ˜
G -reg
(C)) se recollent aussi en une sous-algèbre de
l’algèbre notée P ol( ˜
T
˜
G -reg
(C)) en 1.1. Ce n’est pas forcément cette algèbre tout
entière car la condition de régularité relative à ˜
G
est plus faible que celle relative à ˜
G. En tout cas, les termes δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(z
1 ) se recollent en un élément δ
G
M (z
) ∈
Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
Chapitre IX. Le cas archimédien
La projection de μ(λ ,, ) dans c
∗
⊕c
∗
est (μ(λ ), −μ(λ )). Pour ν ∈ t
∗
,λ
il existe un
unique ν ∈ t
∗
,λ
tel que (−ν , ν ) ait pour projection μ(λ ,, ) dans t
∗
,, . L’application
ν → ν est un isomorphisme de t
∗
,λ
sur t
∗
,λ
. Il est compatible à (3) et au fait
que les algèbres d’opérateurs différentiels s’identifient à des algèbres de polynômes
sur ces deux espaces affines. Il s’en déduit un isomorphisme
(4)
Z(G ) λ Z(G ) λ .
Il est formel de vérifier que, si z et z se correspondent par (4), alors δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z )
et δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z ) se correspondent par (3). Remarquons que l’image dans Z(G ) λ
de la classe Ω
˜
G + Sym(z(G )) correspond par (4) à l’image dans Z(G ) λ de la
classe Ω
˜
G + Sym(z(G )).
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Considérons des données endoscopiques G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a M ).
Supposons que M
s’identifie à un Levi de G
et que M
soit la donnée déduite
de G
via cette identification (cf. [I] 3.4). Supposons aussi que M
soit relevante
(donc aussi G
). Fixons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 pour G
, qui se
restreignent en des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
. Soient γ 0 ∈ ˜
T ˜
G -reg (R)
et δ 0 ∈ ˜
M
(R) correspondant à γ 0 . Notons ˜
T
le sous-tore tordu maximal de ˜
M
tel que δ ∈ ˜
T
(R). Alors on dispose d’un isomorphisme ξ : T /(1 − θ)(T ) T
dont on déduit un isomorphisme ˜
ξ : ˜
T /(1 − θ)(T ) ˜
T
tel que ˜
ξ(tγ 0 ) = ξ(t)δ 0 .
Modulo ces isomorphismes, les notations T
et ˜
T
sont cohérentes avec celles du
paragraphe 1.1.
Pour z
1 ∈ Z(G
1 ) λ1 et δ ∈ ˜
T
˜
G -reg
(R), on construit comme plus haut l’opérateur δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ, z
1 ) ∈ Diff
cst ( ˜
T
1 (R)) λ1 . Faisons varier les données auxiliaires. Les
algèbres Z(G
1 ) λ1 se recollent en une algèbre que l’on a notée Z(G
) en [IV]
2.1. Les espaces affines t
∗
1,λ1 se recollent en un espace affine isomorphe à t
∗
θ,ω ,
cf. [IV] 2.1. Donc les algèbres Diff
cst ( ˜
T
1 (R)) λ1 se recollent en une algèbre isomorphe à Diff( ˜
T (R)) θ,ω . D’après les considérations ci-dessus, pour z
∈ Z(G
),
les opérateurs δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ, z
1 ) (où z
1 correspond à z
) se recollent en un opérateur
que l’on peut noter δ
G
M (δ, z
) ∈ Diff
cst ( ˜
T (R)) θ,ω . Les algèbres de fonctions rationnelles et régulières P ol( ˜
T
1, ˜
G -reg
(C)) se recollent aussi en une sous-algèbre de
l’algèbre notée P ol( ˜
T
˜
G -reg
(C)) en 1.1. Ce n’est pas forcément cette algèbre tout
entière car la condition de régularité relative à ˜
G
est plus faible que celle relative à ˜
G. En tout cas, les termes δ
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(z
1 ) se recollent en un élément δ
G
M (z
) ∈
Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .