IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
999
On a alors un élément δ
˜
G
˜
M ,λ
(z) ∈ Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R)) λ dont la valeur en un point
γ est δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z).
On a muni X ∗ (T ) ⊗ Z R d’une forme quadratique définie positive. Fixons un
scindage d’algèbres de Lie g = c ⊕ g, dont on déduit une égalité
X ∗ (T ) ⊗ Z R = X ∗ (C ) ⊗ Z R ⊕ X ∗ (T ) ⊗ Z R.
Munissons le premier facteur d’une forme quadratique définie positive et munissons
l’espace total de la forme somme directe des formes sur les deux facteurs. On dira
que cettte dernière forme est compatible avec celle sur X ∗ (T ) ⊗ Z R. On définit
alors l’opérateur de Casimir Ω
˜
G . Il dépend des constructions ci-dessus, mais la
classe Ω
˜
G + Sym(z(G )) n’en dépend pas. Pour tout élément z de cette classe,
l’opérateur δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) est donné par la formule de la proposition 1.7 (pourvu que
d ≥ 1).
Considérons d’autres données
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
ainsi qu’un caractère λ de C (R) vérifiant les mêmes conditions que précédemment. On introduit les produits fibrés G ,, et ˜
G ,, de G et G au-dessus de G,
resp. de ˜
G et ˜
G au-dessus de ˜
G. On suppose donnés un caractère λ ,, de G ,, (R)
et une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) tels que
– λ ,, (c x , c x ) = λ (c )λ (c )
−1 λ ,, (x , x ) pour tous (x , x ) ∈ G ,, (R), c ∈
C (R), c ∈ C (R) ;
– ˜
λ ,, (x γ , x γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )λ ,, (x , x ) pour tous (γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (R) et
(x , x ) ∈ G ,, (R).
On définit un isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) → C
∞
c,, ( ˜
G (R))
f
→
f
par f (γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )f (γ ) où γ est n’importe quel élément de ˜
G (R) tel que
(γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (R). On a de même un isomorphisme entre l’espace des fonctions sur
˜
T (R) vérifiant (1) et l’espace de fonctions analogue sur ˜
T (R). De cet isomorphisme
se déduit un isomorphisme
(3)
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ Diff
cst ( ˜
T (R)) .
Au caractère λ ,, est associé un paramètre μ(λ ,, ) ∈ t
∗
,, , où T ,, est l’image réciproque de T dans G ,, . On a
t
∗
,, = (t
∗
⊕ t
∗
)/ diag − (t
∗ ).
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On a alors un élément δ
˜
G
˜
M ,λ
(z) ∈ Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R)) λ dont la valeur en un point
γ est δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z).
On a muni X ∗ (T ) ⊗ Z R d’une forme quadratique définie positive. Fixons un
scindage d’algèbres de Lie g = c ⊕ g, dont on déduit une égalité
X ∗ (T ) ⊗ Z R = X ∗ (C ) ⊗ Z R ⊕ X ∗ (T ) ⊗ Z R.
Munissons le premier facteur d’une forme quadratique définie positive et munissons
l’espace total de la forme somme directe des formes sur les deux facteurs. On dira
que cettte dernière forme est compatible avec celle sur X ∗ (T ) ⊗ Z R. On définit
alors l’opérateur de Casimir Ω
˜
G . Il dépend des constructions ci-dessus, mais la
classe Ω
˜
G + Sym(z(G )) n’en dépend pas. Pour tout élément z de cette classe,
l’opérateur δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) est donné par la formule de la proposition 1.7 (pourvu que
d ≥ 1).
Considérons d’autres données
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
ainsi qu’un caractère λ de C (R) vérifiant les mêmes conditions que précédemment. On introduit les produits fibrés G ,, et ˜
G ,, de G et G au-dessus de G,
resp. de ˜
G et ˜
G au-dessus de ˜
G. On suppose donnés un caractère λ ,, de G ,, (R)
et une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) tels que
– λ ,, (c x , c x ) = λ (c )λ (c )
−1 λ ,, (x , x ) pour tous (x , x ) ∈ G ,, (R), c ∈
C (R), c ∈ C (R) ;
– ˜
λ ,, (x γ , x γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )λ ,, (x , x ) pour tous (γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (R) et
(x , x ) ∈ G ,, (R).
On définit un isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) → C
∞
c,, ( ˜
G (R))
f
→
f
par f (γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )f (γ ) où γ est n’importe quel élément de ˜
G (R) tel que
(γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (R). On a de même un isomorphisme entre l’espace des fonctions sur
˜
T (R) vérifiant (1) et l’espace de fonctions analogue sur ˜
T (R). De cet isomorphisme
se déduit un isomorphisme
(3)
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ Diff
cst ( ˜
T (R)) .
Au caractère λ ,, est associé un paramètre μ(λ ,, ) ∈ t
∗
,, , où T ,, est l’image réciproque de T dans G ,, . On a
t
∗
,, = (t
∗
⊕ t
∗
)/ diag − (t
∗ ).