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Chapitre IX. Le cas archimédien
l’ensemble t
∗
,λ
des éléments de t
∗
qui se projettent sur μ(λ ) ∈ c
∗
. C’est un espace
affine sous t
∗ et Sym(t ) λ s’identifie à l’algèbre des polynômes sur t
∗
,λ
. L’application H → ∂ H se quotiente en un isomorphisme noté de même de Sym(t ) λ sur
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .
Rappelons que l’on note C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) l’espace des fonctions f sur ˜
G (R)
qui sont C
∞ , à support compact modulo C (R) et qui vérifient la condition (1)
pour tous γ ∈ ˜
G (R). On note I λ ( ˜
G (R)) le quotient de C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) par le sousespace des fonctions dont les orbitales orbitales sont nulles en tout point fortement
régulier. L’action de Z(G ) sur C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) ou I λ ( ˜
G (R)) se quotiente en l’action
d’une algèbre quotient Z(G ) λ . Celle-ci est isomorphe à Sym(t )
W
λ
.
Soient γ ∈ ˜
T , ˜
G -reg (R) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (R)). Rappelons que l’on définit
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , f) de la façon suivante (cf. [II] 1.10).
On fixe une fonction ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (R)) telle que
f (γ ) =
C (R)
˙
f (cγ )λ (c) dc.
Alors
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , f) =
C (R)
I
˜
G
˜
M
(γ , ˙
f
c )λ (c) dc,
où ˙
f
c est définie par ˙
f
c (γ
) = ˙
f (cγ
). En appliquant 1.2, on a pour z ∈ Z(G ) une
égalité
(2)
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , zf) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(γ , z L )I
˜
G
˜
L ,λ
(γ , f).
Puisque les opérateurs différentiels s’appliquent ici à des fonctions vérifiant (1),
on peut les remplacer par leurs images dans l’espace Diff
cst ( ˜
T (R)) λ . On note
δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) l’image de δ
˜
G
˜
M
(γ , z) dans cet espace. Il résulte formellement de l’égalité (2) que
– δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) ne dépend que de l’image de z dans Z(G ) λ ;
– δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) ne dépend que de l’image γ ∈ ˜
T (R) de γ .
On peut donc noter δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) notre opérateur. Il est défini pour γ ∈
˜
T ˜
G -reg (R) et z ∈ Z( ˜
G) λ et prend ses valeurs dans Diff
cst ( ˜
T (R)) λ . La proposition
1.3 reste vraie pour ces opérateurs. En particulier, la fonction γ → δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) est
rationnelle et régulière. Posons
Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R)) λ = P ol( ˜
T ˜
G -reg (C)) ⊗ C Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .
Chapitre IX. Le cas archimédien
l’ensemble t
∗
,λ
des éléments de t
∗
qui se projettent sur μ(λ ) ∈ c
∗
. C’est un espace
affine sous t
∗ et Sym(t ) λ s’identifie à l’algèbre des polynômes sur t
∗
,λ
. L’application H → ∂ H se quotiente en un isomorphisme noté de même de Sym(t ) λ sur
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .
Rappelons que l’on note C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) l’espace des fonctions f sur ˜
G (R)
qui sont C
∞ , à support compact modulo C (R) et qui vérifient la condition (1)
pour tous γ ∈ ˜
G (R). On note I λ ( ˜
G (R)) le quotient de C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) par le sousespace des fonctions dont les orbitales orbitales sont nulles en tout point fortement
régulier. L’action de Z(G ) sur C
∞
c,λ
( ˜
G (R)) ou I λ ( ˜
G (R)) se quotiente en l’action
d’une algèbre quotient Z(G ) λ . Celle-ci est isomorphe à Sym(t )
W
λ
.
Soient γ ∈ ˜
T , ˜
G -reg (R) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (R)). Rappelons que l’on définit
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , f) de la façon suivante (cf. [II] 1.10).
On fixe une fonction ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (R)) telle que
f (γ ) =
C (R)
˙
f (cγ )λ (c) dc.
Alors
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , f) =
C (R)
I
˜
G
˜
M
(γ , ˙
f
c )λ (c) dc,
où ˙
f
c est définie par ˙
f
c (γ
) = ˙
f (cγ
). En appliquant 1.2, on a pour z ∈ Z(G ) une
égalité
(2)
I
˜
G
˜
M ,λ
(γ , zf) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(γ , z L )I
˜
G
˜
L ,λ
(γ , f).
Puisque les opérateurs différentiels s’appliquent ici à des fonctions vérifiant (1),
on peut les remplacer par leurs images dans l’espace Diff
cst ( ˜
T (R)) λ . On note
δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) l’image de δ
˜
G
˜
M
(γ , z) dans cet espace. Il résulte formellement de l’égalité (2) que
– δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) ne dépend que de l’image de z dans Z(G ) λ ;
– δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ , z) ne dépend que de l’image γ ∈ ˜
T (R) de γ .
On peut donc noter δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) notre opérateur. Il est défini pour γ ∈
˜
T ˜
G -reg (R) et z ∈ Z( ˜
G) λ et prend ses valeurs dans Diff
cst ( ˜
T (R)) λ . La proposition
1.3 reste vraie pour ces opérateurs. En particulier, la fonction γ → δ
˜
G
˜
M ,λ
(γ, z) est
rationnelle et régulière. Posons
Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R)) λ = P ol( ˜
T ˜
G -reg (C)) ⊗ C Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .