IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
997
Il résulte de la définition de X que ceci est égal à −2|(N α) |A ˜
M
|. Cela transforme
(2) en
−2
α∈Σ G (T ) θ −Σ M (T ) θ ,α>0
|(N α) |A ˜
M
|n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1−ν (α) (γ)ζ)
−1 (1−ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )
−1 .
On montre aisément l’égalité des fractions rationnelles en x :
n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1 − xζ)
−1 (1 − x
−1 ζ
−1 )
−1 = n α (1 − x
nα )
−1 (1 − x
−nα )
−1 .
On se rappelle que ν (α) (γ)
nα = (α)(γ). Alors l’expression ci-dessus devient
−2
α∈Σ G (T ) θ −Σ M (T ) θ ,α>0
|(N α) |A ˜
M
|n α (1 − (α)(γ))
−1 (1 − (α)(γ)
−1 )
−1 .
Les expressions étant symétriques en α et −α, on peut supprimer le facteur 2 en
supprimant la restriction α > 0 dans la sommation. Le terme ci-dessus devient
C
˜
G
˜
M
(γ). Cela prouve la proposition.
Remarque. L’algèbre Z(G) contient Sym(z(G)), où z(G) est l’algèbre de Lie du
centre de G. Il résulte facilement de 1.6(1) que, pour d ≥ 1, on a δ
˜
G
˜
M
(γ, z) = 0
pour z ∈ Sym(z(G)). La proposition précédente reste vraie si l’on remplace Ω par
n’importe quel élément de Ω + Sym(z(G)).
IX.1.8 Variante avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ un
caractère de C (R). On note ˜
M et ˜
T les images réciproques dans ˜
G de ˜
M et ˜
T .
Puisqu’il n’y a pas de torsion, on note simplement Diff
cst ( ˜
T (R)) l’algèbre
que l’on a notée Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv en 1.1. Elle agit sur l’espace des fonctions C
∞
sur ˜
T (R). Restreignons-nous aux fonctions f qui vérifient pour tout γ ∈ ˜
T (R) la
propriété
(1) f (γ c) = λ (c)
−1 f (γ ) pour tout c ∈ C (R).
Alors l’action de Diff
cst ( ˜
T (R)) se quotiente en une action d’une algèbre quotient
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .
Notons μ(λ ) ∈ c
∗
le paramètre de λ (c’est-à-dire que λ (exp(H)) = e
H,μ(λ )
pour H ∈ c (R) assez proche de 0). Notons I λ l’idéal de Sym(t ) engendré par
les H + H, μ(λ ) pour H ∈ c . Posons Sym(t ) λ = Sym(t )/I λ . Introduisons
997
Il résulte de la définition de X que ceci est égal à −2|(N α) |A ˜
M
|. Cela transforme
(2) en
−2
α∈Σ G (T ) θ −Σ M (T ) θ ,α>0
|(N α) |A ˜
M
|n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1−ν (α) (γ)ζ)
−1 (1−ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )
−1 .
On montre aisément l’égalité des fractions rationnelles en x :
n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1 − xζ)
−1 (1 − x
−1 ζ
−1 )
−1 = n α (1 − x
nα )
−1 (1 − x
−nα )
−1 .
On se rappelle que ν (α) (γ)
nα = (α)(γ). Alors l’expression ci-dessus devient
−2
α∈Σ G (T ) θ −Σ M (T ) θ ,α>0
|(N α) |A ˜
M
|n α (1 − (α)(γ))
−1 (1 − (α)(γ)
−1 )
−1 .
Les expressions étant symétriques en α et −α, on peut supprimer le facteur 2 en
supprimant la restriction α > 0 dans la sommation. Le terme ci-dessus devient
C
˜
G
˜
M
(γ). Cela prouve la proposition.
Remarque. L’algèbre Z(G) contient Sym(z(G)), où z(G) est l’algèbre de Lie du
centre de G. Il résulte facilement de 1.6(1) que, pour d ≥ 1, on a δ
˜
G
˜
M
(γ, z) = 0
pour z ∈ Sym(z(G)). La proposition précédente reste vraie si l’on remplace Ω par
n’importe quel élément de Ω + Sym(z(G)).
IX.1.8 Variante avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ un
caractère de C (R). On note ˜
M et ˜
T les images réciproques dans ˜
G de ˜
M et ˜
T .
Puisqu’il n’y a pas de torsion, on note simplement Diff
cst ( ˜
T (R)) l’algèbre
que l’on a notée Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv en 1.1. Elle agit sur l’espace des fonctions C
∞
sur ˜
T (R). Restreignons-nous aux fonctions f qui vérifient pour tout γ ∈ ˜
T (R) la
propriété
(1) f (γ c) = λ (c)
−1 f (γ ) pour tout c ∈ C (R).
Alors l’action de Diff
cst ( ˜
T (R)) se quotiente en une action d’une algèbre quotient
Diff
cst ( ˜
T (R)) λ .
Notons μ(λ ) ∈ c
∗
le paramètre de λ (c’est-à-dire que λ (exp(H)) = e
H,μ(λ )
pour H ∈ c (R) assez proche de 0). Notons I λ l’idéal de Sym(t ) engendré par
les H + H, μ(λ ) pour H ∈ c . Posons Sym(t ) λ = Sym(t )/I λ . Introduisons