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Chapitre IX. Le cas archimédien
Pour tous α, ζ, on calcule
Γ γ (Y ((α), γ, ζ) ⊗ 1) = (1 − ν (α) (γ)ζ)(1 − ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )Y ((α), γ, ζ)
+(ν (α) (γ)ζ − ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )[E((α), γ, ζ), E((−α), γ, ζ
−1 )].
Le dernier terme appartient à t puisqu’il est fixe par ad γ . On en déduit
Ω = U +
α∈Σ(T ) θ ,α>0
n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1 − ν (α) (γ)ζ)
−1 (1 − ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )
−1 Γ γ (Y ((α), γ, ζ) ⊗ 1),
avec U ∈ Sym(t). En appliquant 1.6(1), on obtient que δ
˜
G
˜
M
(γ, Ω) est la multiplication par
(2)
α∈Σ(T ) θ ,
α>0
n
−1
α
ζ∈ζ nα
(1 − ν (α) (γ)ζ)
−1 (1 − ν (α) (γ)
−1 ζ
−1 )
−1 c
˜
G
˜
M
(Y ((α), γ, ζ)).
Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ), α ∈ Σ(T ) θ et ζ ∈ ζ nα . Si α ∈ Σ
M (T ), on a E(±(α), γ, ζ) ∈ p
1 et
μ ˜
P (Y ((α), γ, ζ)) = 0. Supposons α ∈ Σ
M (T ). Soit ξ ∈ {±1} tel que ξα soit positif
pour P . Alors E(ξ(α), γ, ζ) ∈ p
1 et on calcule
μ ˜
P (Y ((α), γ, ζ)) = ξ[E(−(α), γ, ζ
−1 ), E((α), γ, ζ)].
Puisqu’on a déjà remarqué que ce terme appartenait à t, on le calcule facilement :
μ ˜
P (Y ((α), γ, ζ)) = ξ
m=0,...,nα
[E −θ m (α) , E θ m (α) ].
Soit β ∈ Σ(T ). Parce que notre forme bilinéaire est invariante par l’action adjointe,
on a
([E −β , H], E β ) + (H, [E −β , E β ]) = 0
pour tout H ∈ t. On a aussi [E −β , H] = β(H)E −β . Puisqu’on a choisi nos éléments
de sorte que (E −β , E β ) = 1, on obtient (H, [E −β , E β ]) = −β(H). Modulo notre
identification de t
∗ à t, on obtient [E −β , E β ] = −β. D’où
μ ˜
P (Y ((α), γ, ζ)) = −ξ
m=0,...,nα
θ
m (α) = −ξN α.
Ce terme est homogène de degré 1. Si d ≥ 2, on en déduit c
˜
G
˜
M
(Y ((α), γ, ζ)) = 0
ce qui démontre l’énoncé dans ce cas. Supposons d = 1. Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ) et un
élément X ∈ A
˜
G
˜
M
positif pour P et tel que |X| = 1. Il résulte des définitions que
c
˜
G
˜
M
(Y ((α), γ, ζ)) = 2(μ ˜
P (Y ((α), γ, ζ), X)) = −2ξ(N α, X).