IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
995
orthonormée. On a fixé en 1.4 des éléments E α pour α ∈ Σ(T ). On a forcément
(E α , E β ) = 0 si β = −α et on peut supposer (E α , E −α ) = 1. Alors
Ω =
j=1,...,n
H
2
j
+
α∈Σ(T ),α>0
E α E −α + E −α E α
.
On calcule classiquement
(1)
Ω T =
j=1,...,n
H
2
j − ρ B (H j )
2 ,
où ρ B est la demi-somme des racines positives.
Notons plus précisément Σ
G (T ) l’ensemble noté jusqu’alors Σ(T ). L’ensemble
Σ
M (T ) est invariant par θ et on peut supposer Σ
M (T ) θ ⊂ Σ
G (T ) θ . Ainsi Σ
G (T ) θ −
Σ
M (T ) θ est un ensemble de représentants des orbites dans Σ
G (T ) − Σ
M (T ). On
peut aussi supposer que Σ
G (T ) θ est invariant par α → −α et que ν (−α) (γ) =
ν (α) (γ)
−1 pour tout γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). Posons d = a ˜
M − a ˜
G . Supposons d ≥ 1.
Définissons la fonction C
˜
G
˜
M
sur ˜
T ˜
G -reg (C) par
– si d ≥ 2, C
˜
G
˜
M
= 0 ;
– si d = 1,
C
˜
G
˜
M
(γ) = −
α∈Σ G (T ) θ −Σ M (T ) θ
|(N α) |A ˜
M
|n α (1 − (α)(γ))
−1 (1 − (α)(γ)
−1 )
−1 .
Le terme (α)(γ) a été défini en 1.4. On a noté (N α) |A ˜
M
la projection orthogonale de N α sur A ˜
M , ce dernier espace s’identifiant à un sous-espace de t.
Proposition. On suppose d ≥ 1. Alors, pour tout γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), l’opérateur
δ
˜
G
˜
M
(γ, Ω) est la multiplication par C
˜
G
˜
M
(γ).
Preuve. Soit γ ∈ ˜
T ˜
G -reg . Utilisons les éléments E((α), γ, ζ) de 1.4. On vérifie que,
pour tout α ∈ Σ(T ) θ , on a l’égalité
m=0,...,nα−1
E θ m (α) E −θ m (α) = n
−1
α
ζ∈ζ nα
E((α), γ, ζ)E((−α), γ, ζ
−1 ).
Ainsi
Ω =
j=1,...,n
H
2
j
+
α∈Σ(T ) θ ,α>0
n
−1
α
ζ∈ζ nα
Y ((α), γ, ζ),
où
Y ((α), γ, ζ) = E((α), γ, ζ)E((−α), γ, ζ
−1 ) + E((−α), γ, ζ
−1 )E((α), γ, ζ).