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Chapitre IX. Le cas archimédien
est surjectif. Pour démontrer le (ii) de la proposition 1.3, il suffit de prouver la
propriété (3) suivante. Fixons une base Δ de Σ(T ) et une suite (t j ) j∈N d’éléments
de T
θ,0 (C). Supposons que t j γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) pour tout j et que l’image de la suite
(t j ) j∈N dans T
(C) tend vers l’infini selon Δ. Alors on a
(3)
lim
j→∞
q
˜
G
˜
M
(U ; t j γ, z) = 0.
Considérons un couple (k, l) intervenant dans (2). Puisque k ≥ 1, le lemme 1.5(ii)
implique que lim j→∞ a k,l (t j γ, z) = 0. D’après le lemme 1.4, le terme b(U ; t j γ, H l )
est combinaison linéaire de produits de termes (1 − (α)(γ)α res (t j )
nα )
−m pour des
α ∈ Σ(T ) θ , α > 0 et des m ∈ N. Un tel produit a une limite quand j tend vers
l’infini : sa limite est nulle sauf si la fonction est constante. Ces résultats et la
formule (2) impliquent (3), ce qui achève la démonstration de la proposition.
Une conséquence formelle de la formule (1) et de l’algébricité des constructions est le comportement de nos opérateurs différentiels par conjugaison. Enonçons cette propriété sous la forme générale qui nous servira plus loin. Supposons
que ˜
G soit une composante connexe d’un K-espace K ˜
G, cf. [I] 1.11, et que ˜
M soit
une composante connexe d’un K-espace de Levi K ˜
M , cf. [I] 3.5. Disons que ˜
G et
˜
M sont les composantes ˜
G p et ˜
M p . Soit q ∈ Π
˜
M . On a alors une composante ˜
G q
de K ˜
G, une composante ˜
M q de K ˜
M et un isomorphisme ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p défini
sur C qui envoie ˜
M q sur ˜
M p . Supposons donné un sous-tore maximal ˜
T q de ˜
M q
et un élément x ∈ M p tel que ad x ◦ ˜
φ p,q ( ˜
T q ) = ˜
T . On note ˜ ι : ˜
T q → ˜
T la restriction de ad x ◦ ˜
φ p,q . On suppose que ˜ ι est défini sur R. Les centres Z(G) et Z(G q )
s’identifient. On peut donc définir δ
˜
Gq
˜
Mq
(γ q , z) pour γ q ∈ ˜
T q, ˜
Gq -reg (R). On a alors
l’égalité
(4)
˜ ι ◦ δ
˜
Gq
˜
Mq
(γ q , z) ◦ ˜ ι
−1 = δ
˜
G
˜
M
(˜ ι(γ q ), z)
pour tout γ q ∈ ˜
T q, ˜
Gq -reg (R).
IX.1.7 L’opérateur de Casimir
On a fixé en [IV] 1.1 une forme bilinéaire sur X ∗ (T )⊗ Z R définie positive, invariante
par le groupe de Weyl W et par θ. On la prolonge en une forme C-bilinéaire
sur t. On peut alors identifier le dual t
∗ à t. Pour X ∈ X ∗ (T ) ⊗ Z R ⊂ t ou
X ∈ X
∗ (T ) ⊗ Z R ⊂ t
∗ , on a (X, X) ≥ 0 et on note |X| la racine carrée positive ou
nulle de (X, X).
D’autre part, la forme sur t se prolonge en une unique forme C-bilinéaire
sur g invariante par l’action adjointe de G. Elle est aussi invariante par ad γ pour
tout γ ∈ ˜
G. On la note (., .). De cette forme se déduit un élément de Casimir
Ω ∈ Z(G), cf. [76] I.2.3. Fixons une base (H j ) i=1,...,n de X ∗ (T ) ⊗ Z R. Supposons-la
Chapitre IX. Le cas archimédien
est surjectif. Pour démontrer le (ii) de la proposition 1.3, il suffit de prouver la
propriété (3) suivante. Fixons une base Δ de Σ(T ) et une suite (t j ) j∈N d’éléments
de T
θ,0 (C). Supposons que t j γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) pour tout j et que l’image de la suite
(t j ) j∈N dans T
(C) tend vers l’infini selon Δ. Alors on a
(3)
lim
j→∞
q
˜
G
˜
M
(U ; t j γ, z) = 0.
Considérons un couple (k, l) intervenant dans (2). Puisque k ≥ 1, le lemme 1.5(ii)
implique que lim j→∞ a k,l (t j γ, z) = 0. D’après le lemme 1.4, le terme b(U ; t j γ, H l )
est combinaison linéaire de produits de termes (1 − (α)(γ)α res (t j )
nα )
−m pour des
α ∈ Σ(T ) θ , α > 0 et des m ∈ N. Un tel produit a une limite quand j tend vers
l’infini : sa limite est nulle sauf si la fonction est constante. Ces résultats et la
formule (2) impliquent (3), ce qui achève la démonstration de la proposition.
Une conséquence formelle de la formule (1) et de l’algébricité des constructions est le comportement de nos opérateurs différentiels par conjugaison. Enonçons cette propriété sous la forme générale qui nous servira plus loin. Supposons
que ˜
G soit une composante connexe d’un K-espace K ˜
G, cf. [I] 1.11, et que ˜
M soit
une composante connexe d’un K-espace de Levi K ˜
M , cf. [I] 3.5. Disons que ˜
G et
˜
M sont les composantes ˜
G p et ˜
M p . Soit q ∈ Π
˜
M . On a alors une composante ˜
G q
de K ˜
G, une composante ˜
M q de K ˜
M et un isomorphisme ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p défini
sur C qui envoie ˜
M q sur ˜
M p . Supposons donné un sous-tore maximal ˜
T q de ˜
M q
et un élément x ∈ M p tel que ad x ◦ ˜
φ p,q ( ˜
T q ) = ˜
T . On note ˜ ι : ˜
T q → ˜
T la restriction de ad x ◦ ˜
φ p,q . On suppose que ˜ ι est défini sur R. Les centres Z(G) et Z(G q )
s’identifient. On peut donc définir δ
˜
Gq
˜
Mq
(γ q , z) pour γ q ∈ ˜
T q, ˜
Gq -reg (R). On a alors
l’égalité
(4)
˜ ι ◦ δ
˜
Gq
˜
Mq
(γ q , z) ◦ ˜ ι
−1 = δ
˜
G
˜
M
(˜ ι(γ q ), z)
pour tout γ q ∈ ˜
T q, ˜
Gq -reg (R).
IX.1.7 L’opérateur de Casimir
On a fixé en [IV] 1.1 une forme bilinéaire sur X ∗ (T )⊗ Z R définie positive, invariante
par le groupe de Weyl W et par θ. On la prolonge en une forme C-bilinéaire
sur t. On peut alors identifier le dual t
∗ à t. Pour X ∈ X ∗ (T ) ⊗ Z R ⊂ t ou
X ∈ X
∗ (T ) ⊗ Z R ⊂ t
∗ , on a (X, X) ≥ 0 et on note |X| la racine carrée positive ou
nulle de (X, X).
D’autre part, la forme sur t se prolonge en une unique forme C-bilinéaire
sur g invariante par l’action adjointe de G. Elle est aussi invariante par ad γ pour
tout γ ∈ ˜
G. On la note (., .). De cette forme se déduit un élément de Casimir
Ω ∈ Z(G), cf. [76] I.2.3. Fixons une base (H j ) i=1,...,n de X ∗ (T ) ⊗ Z R. Supposons-la