IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
993
différence des dimensions de A ˜
M et A ˜
G . Notons μ ˜
P ,d (Y ) la composante homogène
de degré d de μ ˜
P (Y ). On peut considérer Sym(a ˜
M ) comme l’algèbre des polynômes
sur A
∗
˜
M,C
. Pour ν ∈ A
∗
˜
M,C
, notons
μ ˜
P ,d (Y ), ν
la valeur en ν du polynôme associé
à μ ˜
P ,d (Y ). Posons
c
˜
G
˜
M
(Y ) =
˜
P ∈P( ˜
M)
μ ˜
P ,d (Y ), ν
˜
G
˜
P
(ν),
où ν est un élément assez régulier de A
∗
˜
M,C
et
˜
G
˜
P
est la fonction usuelle de la
théorie des ( ˜
G, ˜
M )-familles (la notation d’Arthur est (θ
˜
G
˜
P
)
−1 ; notre notation est
reprise de [55] p. 28). L’expression ci-dessus ne dépend pas de ν.
Comme dans le paragraphe précédent, fixons des bases (H l ) l∈N de Sym(t) et
(Y k ) k∈N de Sym(q). On suppose que H l est homogène pour tout l, que Y 0 = 1 et
que, pour k ≥ 1, Y k est de terme constant nul et est propre pour l’action adjointe
de T (C), de caractère propre y k .
Soient z ∈ Z(G) et γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). D’après [9] lemme 12.1, on a l’égalité
(1)
δ
˜
G
˜
M
(γ, z) =
k≥1,l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)∂ H l ,, (γ).
Puisque la projection Y → μ ˜
P (Y ) est équivariante pour les actions de T , on a
μ ˜
P (Y k ) = 0 si y k = 1. A fortiori, le terme indexé par (k, l) dans la somme cidessus est nul si y k = 1. En utilisant les notations de 1.4, on obtient
δ
˜
G
˜
M
(γ, z) =
U∈B
k≥1;y k =1
l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)b(U ; γ, H l )∂ U .
Donc, pour tout U ∈ B,
(2)
q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) =
k≥1;y k =1
l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)b(U ; γ, H l ).
Fixons U ∈ B. Considérons un couple (k, l) intervenant ci-dessus. Le terme
a k,l (γ, z) est défini pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). Puisque y k = 1 et que z est invariante
par l’action adjointe de T (C), le lemme 1.5(i) et la relation 1.5(10) entraînent que
γ → a k,l (γ, z) se quotiente en une fonction rationnelle régulière sur ˜
T
˜
G -reg
(C).
Le lemme 1.4 montre qu’il en est de même de la fonction γ → b(U ; γ, H l ). Donc
la fonction γ → q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) se prolonge en une fonction rationnelle régulière sur
˜
T
˜
G -reg
(C).
Fixons γ. L’homomorphisme
T
θ,0 (C) → ˜
T
(C)
t
→
tγ
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différence des dimensions de A ˜
M et A ˜
G . Notons μ ˜
P ,d (Y ) la composante homogène
de degré d de μ ˜
P (Y ). On peut considérer Sym(a ˜
M ) comme l’algèbre des polynômes
sur A
∗
˜
M,C
. Pour ν ∈ A
∗
˜
M,C
, notons
μ ˜
P ,d (Y ), ν
la valeur en ν du polynôme associé
à μ ˜
P ,d (Y ). Posons
c
˜
G
˜
M
(Y ) =
˜
P ∈P( ˜
M)
μ ˜
P ,d (Y ), ν
˜
G
˜
P
(ν),
où ν est un élément assez régulier de A
∗
˜
M,C
et
˜
G
˜
P
est la fonction usuelle de la
théorie des ( ˜
G, ˜
M )-familles (la notation d’Arthur est (θ
˜
G
˜
P
)
−1 ; notre notation est
reprise de [55] p. 28). L’expression ci-dessus ne dépend pas de ν.
Comme dans le paragraphe précédent, fixons des bases (H l ) l∈N de Sym(t) et
(Y k ) k∈N de Sym(q). On suppose que H l est homogène pour tout l, que Y 0 = 1 et
que, pour k ≥ 1, Y k est de terme constant nul et est propre pour l’action adjointe
de T (C), de caractère propre y k .
Soient z ∈ Z(G) et γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). D’après [9] lemme 12.1, on a l’égalité
(1)
δ
˜
G
˜
M
(γ, z) =
k≥1,l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)∂ H l ,, (γ).
Puisque la projection Y → μ ˜
P (Y ) est équivariante pour les actions de T , on a
μ ˜
P (Y k ) = 0 si y k = 1. A fortiori, le terme indexé par (k, l) dans la somme cidessus est nul si y k = 1. En utilisant les notations de 1.4, on obtient
δ
˜
G
˜
M
(γ, z) =
U∈B
k≥1;y k =1
l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)b(U ; γ, H l )∂ U .
Donc, pour tout U ∈ B,
(2)
q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) =
k≥1;y k =1
l≥0
c
˜
G
˜
M
(Y k )a k,l (γ, z)b(U ; γ, H l ).
Fixons U ∈ B. Considérons un couple (k, l) intervenant ci-dessus. Le terme
a k,l (γ, z) est défini pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). Puisque y k = 1 et que z est invariante
par l’action adjointe de T (C), le lemme 1.5(i) et la relation 1.5(10) entraînent que
γ → a k,l (γ, z) se quotiente en une fonction rationnelle régulière sur ˜
T
˜
G -reg
(C).
Le lemme 1.4 montre qu’il en est de même de la fonction γ → b(U ; γ, H l ). Donc
la fonction γ → q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) se prolonge en une fonction rationnelle régulière sur
˜
T
˜
G -reg
(C).
Fixons γ. L’homomorphisme
T
θ,0 (C) → ˜
T
(C)
t
→
tγ