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Chapitre IX. Le cas archimédien
de T (C), de caractère propre y k . Par linéarité, on peut aussi supposer que V est
propre pour cette action, de caractère propre v. Pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) et t ∈ T (C),
on déduit de (2) l’égalité
ad t (V ) =
k,l
a k,l (γ, V )Γ adt(γ) (ad t (Y k ) ⊗ ad t (H l )),
ou encore
V =
k,l
a k,l (γ, V )v(t)
−1 y k (t)Γ (1−θ)(t)γ (Y k ⊗ H l ).
En comparant avec (2) appliquée à (1 − θ)(t)γ, on obtient
(10)
a k,l ((1 − θ)(t)γ, V ) = v(t)
−1 y k (t)a k,l (γ, V ).
Ceci implique que a k,l (γ, V ) = 0 si les restrictions de v et y k à T
θ (C) sont différentes. Supposons qu’elles soient égales. Alors le caractère v
−1 y k se descend en un
caractère de (1 − θ)(T (C)) que l’on note y
k . Fixons γ 0 ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). L’homomorphisme
(1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C) → ˜
T (C)
(t 1 , t 2 )
→ t 1 t 2 γ 0
est surjectif. Soit n k,l un entier vérifiant (5). La fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V )
se relève en une fonction sur (1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C). En un point (t 1 , t 2 ), celle-ci
vaut y
k (t 1 )D
˜
G
(t 2 γ 0 )
n k,l a k,l (t 2 γ 0 , V ). L’assertion (5) entraîne que cette fonction se
prolonge en une fonction polynomiale sur (1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C). Donc la fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V ) se prolonge elle aussi en une fonction polynomiale
sur ˜
T (C).
Les fonctions γ → a k,l (γ, V ) sont rationnelles. On sait qu’en tout γ, il n’y a
qu’un nombre fini de couples (k, l) pour lesquels a k,l (γ, V ) = 0. Il en résulte qu’il
n’y a qu’un nombre fini de couples (k, l) pour lesquels la fonction γ → a k,l (γ, V )
n’est pas nulle.
IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3
On va rappeler la construction de nos opérateurs différentiels, d’après [9] paragraphe 12. Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ). Notons M
1 la composante neutre de l’intersection des
noyaux des caractères de M appartenant à X
∗ (M )
Γ R ,θ . Notons m
1 son algèbre
de Lie et p
1 la somme de m
1 et du radical nilpotent de p. Notons u ¯
P le radical
nilpotent de l’algèbre de Lie du sous-groupe parabolique opposé ¯
P et notons U ¯
P
la sous-algèbre qu’il engendre dans U(G). On a la décompositon en somme directe
U(G) = p
1
U(G) ⊕ Sym(a ˜
M )U ¯
P u ¯
P ⊕ Sym(a ˜
M ).
Elle est compatible à l’action adjointe de T . Pour tout Y ∈ U(G), écrivons Y =
Y
+ Y
+ μ ˜
P (Y ) conformément à cette décomposition ci-dessus. Notons d la
Chapitre IX. Le cas archimédien
de T (C), de caractère propre y k . Par linéarité, on peut aussi supposer que V est
propre pour cette action, de caractère propre v. Pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) et t ∈ T (C),
on déduit de (2) l’égalité
ad t (V ) =
k,l
a k,l (γ, V )Γ adt(γ) (ad t (Y k ) ⊗ ad t (H l )),
ou encore
V =
k,l
a k,l (γ, V )v(t)
−1 y k (t)Γ (1−θ)(t)γ (Y k ⊗ H l ).
En comparant avec (2) appliquée à (1 − θ)(t)γ, on obtient
(10)
a k,l ((1 − θ)(t)γ, V ) = v(t)
−1 y k (t)a k,l (γ, V ).
Ceci implique que a k,l (γ, V ) = 0 si les restrictions de v et y k à T
θ (C) sont différentes. Supposons qu’elles soient égales. Alors le caractère v
−1 y k se descend en un
caractère de (1 − θ)(T (C)) que l’on note y
k . Fixons γ 0 ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). L’homomorphisme
(1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C) → ˜
T (C)
(t 1 , t 2 )
→ t 1 t 2 γ 0
est surjectif. Soit n k,l un entier vérifiant (5). La fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V )
se relève en une fonction sur (1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C). En un point (t 1 , t 2 ), celle-ci
vaut y
k (t 1 )D
˜
G
(t 2 γ 0 )
n k,l a k,l (t 2 γ 0 , V ). L’assertion (5) entraîne que cette fonction se
prolonge en une fonction polynomiale sur (1 − θ)(T (C)) × T
θ,0 (C). Donc la fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V ) se prolonge elle aussi en une fonction polynomiale
sur ˜
T (C).
Les fonctions γ → a k,l (γ, V ) sont rationnelles. On sait qu’en tout γ, il n’y a
qu’un nombre fini de couples (k, l) pour lesquels a k,l (γ, V ) = 0. Il en résulte qu’il
n’y a qu’un nombre fini de couples (k, l) pour lesquels la fonction γ → a k,l (γ, V )
n’est pas nulle.
IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3
On va rappeler la construction de nos opérateurs différentiels, d’après [9] paragraphe 12. Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ). Notons M
1 la composante neutre de l’intersection des
noyaux des caractères de M appartenant à X
∗ (M )
Γ R ,θ . Notons m
1 son algèbre
de Lie et p
1 la somme de m
1 et du radical nilpotent de p. Notons u ¯
P le radical
nilpotent de l’algèbre de Lie du sous-groupe parabolique opposé ¯
P et notons U ¯
P
la sous-algèbre qu’il engendre dans U(G). On a la décompositon en somme directe
U(G) = p
1
U(G) ⊕ Sym(a ˜
M )U ¯
P u ¯
P ⊕ Sym(a ˜
M ).
Elle est compatible à l’action adjointe de T . Pour tout Y ∈ U(G), écrivons Y =
Y
+ Y
+ μ ˜
P (Y ) conformément à cette décomposition ci-dessus. Notons d la