IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
991
ou encore
(6)
V =
i=1,...,a
c i (t)
−1
Γ tγ (Y ⊗ H)
−
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
i=1,...,a;i =i1,...,i b
c i (t)
−1
V
i1,...,i b .
Pour tous k, l ∈ N, posons
a
k,l (tγ; V ) =
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
i=1,...,a;i =i1,...,i b
c i (t)
−1
a k,l (tγ; V
i1,...,i b ).
Alors
(7) a k,l (tγ; V ) =
−a
k,l (tγ; V );
si (k, l) = (k 0 , l 0 ),
(
i=1,...,a c i (t))
−1
− a
k0,l0 (tγ; V ), si (k, l) = (k 0 , l 0 ).
Pour tout i = 1, . . . , a, la fonction c i (t) est une fonction rationnelle sur T
θ,0 (C). La
fonction D
˜
G
(tγ)c i (t)
−1 est régulière sur cet ensemble. Jointe aux propriétés des
a k,l (tγ; V
i1,...,i b
) connues par récurrence, cette propriété entraîne que a k,l (tγ; V )
est aussi une fonction rationnelle sur T
θ,0 (C) et qu’il existe un entier n k,l ∈ N tel
que D ˜
G (tγ)
n k,l a k,l (tγ; V ) est régulière sur cet ensemble. Cela prouve (5).
Prouvons maintenant le (ii) de l’énoncé. On reprend le calcul ci-dessus en
supposant V = H l0 Y k0 = HY . On a déjà remarqué que (ii) était vérifiée si k 0 = 0.
On suppose k 0 ≥ 1. Puisque V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C), on a
(8)
i=1,...,a
α i,res = 0.
Il est clair sur la définition (1) qu’alors Γ tγ (Y ⊗ H) est aussi invariant par l’action
adjointe de T
θ,0 (C). Puisque les V
i1,...,i b
sont propres pour cette action, on peut
aussi bien supprimer de la formule (6) ceux qui ne sont pas invariants. Les éléments
restants vérifient alors le (ii) de l’énoncé par récurrence. On a
(9)
lim
j→∞
c i (t j )
−1 =
0,
si α i > 0,
−1, si α i < 0,
où la positivité des racines est relative à Δ. Des propriétés des a k,l (tγ; V
i1,...,i b
)
connues par récurrence résulte alors que, si k ≥ 1, on a lim j→∞ a
k,l (t j γ; V ) = 0.
Pour conclure, il reste à prouver que lim j→∞ (
i=1,...,a c i (t j ))
−1 = 0. Mais cela
résulte de (8) et (9), car (8) assure qu’il y a au moins un i tel que α i > 0. Cela
prouve le (ii) de l’énoncé.
Venons-en à la preuve du (i). De nouveau, on a le choix de la base. On suppose
maintenant que H l est homogène pour tout l et que Y k est propre pour l’action
991
ou encore
(6)
V =
i=1,...,a
c i (t)
−1
Γ tγ (Y ⊗ H)
−
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
i=1,...,a;i =i1,...,i b
c i (t)
−1
V
i1,...,i b .
Pour tous k, l ∈ N, posons
a
k,l (tγ; V ) =
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
i=1,...,a;i =i1,...,i b
c i (t)
−1
a k,l (tγ; V
i1,...,i b ).
Alors
(7) a k,l (tγ; V ) =
−a
k,l (tγ; V );
si (k, l) = (k 0 , l 0 ),
(
i=1,...,a c i (t))
−1
− a
k0,l0 (tγ; V ), si (k, l) = (k 0 , l 0 ).
Pour tout i = 1, . . . , a, la fonction c i (t) est une fonction rationnelle sur T
θ,0 (C). La
fonction D
˜
G
(tγ)c i (t)
−1 est régulière sur cet ensemble. Jointe aux propriétés des
a k,l (tγ; V
i1,...,i b
) connues par récurrence, cette propriété entraîne que a k,l (tγ; V )
est aussi une fonction rationnelle sur T
θ,0 (C) et qu’il existe un entier n k,l ∈ N tel
que D ˜
G (tγ)
n k,l a k,l (tγ; V ) est régulière sur cet ensemble. Cela prouve (5).
Prouvons maintenant le (ii) de l’énoncé. On reprend le calcul ci-dessus en
supposant V = H l0 Y k0 = HY . On a déjà remarqué que (ii) était vérifiée si k 0 = 0.
On suppose k 0 ≥ 1. Puisque V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C), on a
(8)
i=1,...,a
α i,res = 0.
Il est clair sur la définition (1) qu’alors Γ tγ (Y ⊗ H) est aussi invariant par l’action
adjointe de T
θ,0 (C). Puisque les V
i1,...,i b
sont propres pour cette action, on peut
aussi bien supprimer de la formule (6) ceux qui ne sont pas invariants. Les éléments
restants vérifient alors le (ii) de l’énoncé par récurrence. On a
(9)
lim
j→∞
c i (t j )
−1 =
0,
si α i > 0,
−1, si α i < 0,
où la positivité des racines est relative à Δ. Des propriétés des a k,l (tγ; V
i1,...,i b
)
connues par récurrence résulte alors que, si k ≥ 1, on a lim j→∞ a
k,l (t j γ; V ) = 0.
Pour conclure, il reste à prouver que lim j→∞ (
i=1,...,a c i (t j ))
−1 = 0. Mais cela
résulte de (8) et (9), car (8) assure qu’il y a au moins un i tel que α i > 0. Cela
prouve le (ii) de l’énoncé.
Venons-en à la preuve du (i). De nouveau, on a le choix de la base. On suppose
maintenant que H l est homogène pour tout l et que Y k est propre pour l’action